3.7.3. Регуляризация функций, соответствующих неприводимым диаграммам.

Мы покажем теперь, что последовательно применяя процедуру перенормировки массы и заряда электрона, можно сделать элементы -матрицы не зависящими от величины граничного импульса L, т. е. устранить все встречающиеся в матричных элементах расходимости.

Начнем с исследования расходимостей у функций, соответствующих неприводимым ВД (будем называть эти функции вершинными функциями соответствующих порядков). Простейшей неприводимой ВД 3-го порядка (рис. 3.13) соответствует функция

    (3.7.3)

где

и интегрирование совершается по 4-объему определяемому граничным импульсом L. При интеграл (3.7.3), очевидно, расходится логарифмически.

Регуляризованная функция (будем называть ее регуляризованной вершинной функцией порядка) определяется, согласно (3.6.14), формулой

    (3.7.4)

где — 4-импульс свободного реального электрона, Покажем, что функция не содержит расходимостей, т. е. в выражении для можно произвести предельный переход

Заметим с этой целью, что

где — некоторые величины, лежащие соответственно между При функция ведет себя, очевидно, как , а так как q входит в только в комбинациях , то и будут вести себя при не как а как благодаря чему интеграл, определяющий функцию будет сходиться при . Это обстоятельство и оправдывает введение термина регуляризованная функция (под регуляризацией обычно понимают процедуру устранения расходимостей).

Ясно, что приведенное доказательство сходимости интеграла, определяющего немедленно обобщается на произвольные неприводимые ВД. Действительно, рассмотрим вершинную функцию соответствующую неприводимой ВД порядка

где — отношение двух полиномов, которое ведет себя при как — некоторая конечная область интегрирования, определяющаяся граничным импульсом L (при интеграл ) расходится логарифмически). Образовав разность

интеграл от которой дает и замечая, что входят в в линейных комбинациях с легко заключить, что эта разность ведет себя при как , что и обеспечивает сходимость выражения для при

Рассмотрим теперь функции, соответствующие неприводимым трехфотонным диаграммам (будем называть их трехфотоиными вершинными функциями соответствующего порядка). Простейшей трехфотонной вершинной диаграмме порядка соответствует функция

    (3.7.5)

где

Интеграл (3.7.5) расходится, очевидно, линейно при Однако ввиду инвариантности области интегрирования члены, пропорциональные L, должны обратиться в нуль. Действительно, для исследования расходящейся части можно считать, что Если положить то после интегрирования и вычисления шпура не останется векторного параметра, через который могла бы быть выражена векторная величина

Поэтому отличный от нуля результат могут дать только линейные по члены в но они будут приводить не к линейной, а к логарифмической расходимости.

Покажем, что регуляризованная трехфотонная вершинная функция порядка

    (3.7.6)

не зависит от величины граничного импульса, т. е. не содержит расходимостей. Так как , то можно представить

Замечая, что

и учитывая, что величины входят в не порознь, а в виде линейной комбинации, легко убедиться, что интеграл, определяющий , сходится при . Действительно, подынтегральное выражение в при ведет себя как что и обеспечивает сходимость интеграла.

Аналогичным образом можно убедиться в отсутствии расходимостей у трехфотонных вершинных функций, соответствующих другим неприводимым трехвершиниым диаграммам.

Перейдем к рассмотрению функций , соответствующих неприводимым ЭСЭД и ФСЭД (эти функции называются массовым и поляризационным операторами 2-го порядка). Регуляризованные функции можно найти с помощью формул (3.6.18) и (3.6.24), подставляя в последние вместо функции Ясно, что полученные таким образом функции не будут содержать расходимостей. Но можно производить регуляризацию массового и поляризационного операторов порядка, исходя непосредственно из выражений для в виде интегралов по 4-объему определяемому граничным импульсом L. Согласно

результатам п. 3.6.3 регуляризованные значения этих величин определяются формулами

Эти формулы (вместе с формулами (3.7.4) и (3.7.6)) отчетливо разъясняют математическую процедуру регуляризации. Мы видим, что она состоит в вычитании из регуляризуемой функции нескольких первых членов ее разложения в ряд Тейлора по степеням или Количество отнимаемых членов должно быть минимальным для обеспечения сходимости остатка; тот же факт, что остаток не будет содержать расходимостей, следует из того, что регуляризуемая функция представляет собой интеграл, в котором в случае неприводимых диаграмм внешние импульсы входят в виде линейной комбинации с переменными интегрирования, и поэтому каждое дифференцирование увеличивает степень полинома, стоящего в знаменателе подынтегральной функции, на единицу.

Физический смысл этой «вычитательной» процедуры заключается, как следует из предыдущего анализа, в том, что она эквивалентна перенормировке констант в и т — заряда и массы электрона.

Нам остается показать, как производится регуляризация матричного элемента, соответствующего рассеянию света светом (диаграмма 3 на рис. 3.33). Согласно результатам п. 3.7.1 этот матричный элемент

    (3.7.8)

где — 4-импульсы фотонов и G — некоторая функция, определяемая правилами Фейнмана, расходится логарифмически при . В частности, логарифмически расходящуюся константу представляет собой и величина . Но из соображений калибровочной инвариантности эта величина должна, очевидно, равняться нулю. Тот факт, что мы получили величину, отличную от нуля, связан с тем, что введение конечного граничного импульса L нарушает калибровочную инвариантность теории. Для восстановления калибровочной инвариантности мы должны заменить функцию под знаком интеграла (3.7.8) функцией

Таким образом, мы получим следующее выражение для регуляризованиого матричного элемента рассеяния света светом:

    (3.7.9)

Ясно, что это выражение не будет содержать расходимостей (подробно вопрос о рассеянии фотона фотоном рассматривается в § 5.6).