4.2.2. Дифференциальное сечение рассеяния неполяризованных частиц.
Зная матричный элемент рассеяния, можно, согласно п. 3.4.3, найти дифференциальное сечение рассеяния фотона электроном:
(4.2.10)
где
(4.2.11)
Наличие в 
-функций дает возможность произвести интегрирование по 
Для этого достаточно сделать замены
где 
— элемент телесного угла, в котором лежит вектор В последнем соотношении 
является функцией 
так как импульс 
связан с 
законом сохранения 
откуда
и поэтому
(4.2.12)
где 
— классический «радиус» электрона, 
Если начальное состояние электрона не поляризовано и нас не интересует поляризация электрона в конечном состоянии, то мы должны просуммировать выражение (4.2.12) по конечным и усреднить по начальным значениям проекции спина электрона.
Эту величину, т. е. 
, где 
— значения проекций спина электрона в начальном и конечном состояниях, мы будем для краткости по-прежнему обозначать через 
Согласно (3.4.9) такое усредненное значение дифференциального сечения равно
(4.2.13)
Подставляя сюда выражение для Q и замечая, что 
найдем
(4.2.14)
Если первичный фотон также не поляризован, то мы получим сечение рассеяния безотносительно к поляризации рассеянного фотона, просуммировав (4.2.12) по конечным и усреднив по начальным состояниям поляризации фотонов. Эту величину, т. е. 
, где 
— поляризации фотонов, мы также будем обозначать через 
Вычисление этого усредненного сечения значительно упрощается, так как суммирование можно производить не по двум, а по четырем поляризациям фотонов, включая как «продольную», так и «скалярную» поляризации (см. п. 3.4.2). При этом следует лишь в выражении (4.2.14) заменить 
и просуммировать по v и 
. Таким образом, мы получим
где
Легко видеть, что второе слагаемое в этом выражении получается из первого путем замены 
которой соответствует также замена 
. Каждое из слагаемых представляет собой, очевидно, функцию только от двух инвариантов и 
Поэтому мы можем представить 
в виде
где
Выполнив здесь с помощью (1.2.18) суммирование по 
и v и отбросив члены с нечетным числом матриц у, получим
Отсюда легко получить
Поэтому
и окончательно мы получим следующее выражение для усредненного сечения:
(4.2.16)
Если электрон вначале покоился, т. е. 
, то, используя (4.2.6) и (4.2.8), получим
и сечение рассеяния приобретет вид [3, 4]
Отметим, что сечение рассеяния фотона содержит в знаменателе массу рассеивателя т. Поэтому при 
рассеяния не происходило бы. Этот вывод, однако, неточен, так как он получен только из рассмотрения матрицы рассеяния второго порядка. Но уже матрица рассеяния четвертого порядка содержит элементы, отвечающие рассеянию фотона на бесконечно тяжелом заряде. Соответствующее этим матричным элементам явление когерентного рассеяния фотона на ядре будет рассмотрено в § 4.6.
Рис. 4.2.
