§ 4.8. Метод эквивалентных фотонов

4.8.1. Связь между сечениями процессов с участием виртуальных и реальных фотонов.

Как уже отмечалось, матричные элементы тормозного излучения и комптоновского рассеяния имеют сходную структуру. Эта аналогия не случайна, а является проявлением глубокой связи между процессами с участием виртуальных и реальных фотонов, обусловленной, в свою очередь, тем, что электромагнитное поле быстрой равномерно движущейся заряженной частицы близко по своим свойствам к полю световой волны.

Для выяснения этой связи рассмотрим процесс образования совокупности частиц (струи) в результате обмена виртуальным фотоном между двумя электронами или электроном и другой заряженной частицей. Процессу соответствует диаграмма рис. 4.25, а, на которой обозначают 4-импульсы частиц струи (с массами импульс электрона или другой заряженной частицы (частица 1), перешедшей в струю, второго электрона до и после столкновения, k — 4-импульс виртуального фотона.

Рис. 4.25.

Инвариантную амплитуду процесса можно представить в виде

    (4.8.1)

где — ток перехода электрона из состояния с импульсом в состояние с импульсом — ток перехода частицы 1 с импульсом в струю с суммарным импульсом Для мы не будем пользоваться здесь каким-либо конкретным выражением, аналогичным выражению для электронного тока Ясно, однако, что -вектор J должен строиться с помощью -векторов и должен удовлетворять условию поперечности Считая в дальнейшем величину большой по сравнению с квадратами масс всех частиц, включая виртуальный фотон, а также по сравнению с квадратом инвариантной массы частиц струи, можно утверждать, что скалярное произведение -векторов будет пропорционально большой величине

Дифференциальное сечение рассматриваемого процесса согласно (3.4.16) имеет вид

где — элемент фазового объема частиц струи

— плотность потока начальных частиц и знак суммы означает суммирование по спиновым состояниям всех частиц (для определенности мы считаем, что частица 1 может находиться только в двух различных поляризационных состояниях). Легко видеть,

что

где — совокупность спиновых индексов частицы 1 и всех частиц струи. Так как предполагается, что то вторым слагаемым в (4.8.3) можно пренебречь.

Нас будет интересовать сечение, проинтегрированное по состояниям конечного электрона с импульсом . Это интегрирование можно заменить интегрированием по k. С этой целью удобно ввести новые переменные — проекции k на векторы

т. е. представить k в виде [39]

    (4.8.4)

где и и v — некоторые скалярные величины и 4-вектор ортогонален Легко определить . Подставляя для этого (4.8.4) в соотношение получим

Умножая далее k на и используя (4.8.5), найдем

    (4.8.6)

где Эта величина связана с инвариантной массой частиц струи соотношением

Поскольку , то величины u и v будут малы по сравнению с единицей, причем

Выразим теперь величины входящие в инвариантную амплитуду М, через и, . Используя условие сохранения тока , имеем а так как — характерная масса частиц струи), то в последнем равенстве можно опустить слагаемое и мы получим с точностью до членов порядка

Используя (4.8.4) и (4.8.5), имеем далее

    (4.8.9)

Наконец, из (4.8.4) следует, что

    (4.8.10)

Переходя к интегрированию (4.8.2) по k, заметим, что интегрирование по v сводится к взятию вычета за счет -функции, соответствующей реальности конечного электрона. Поэтому проинтегрированное по k дифференциальное сечение процесса приобретает вид

    (4.8.11)

где

    (4.8.11)

Величина представляет собой дифференциальное сечение образования струи при взаимодействии заряженной частицы с импульсом и виртуального фотона с массой — и поляризацией Обратим внимание на то, что при величина переходит в сечение образования струи при взаимодействии реального фотона с заряженной частицей с импульсом (см. диаграмму рис. 4.25, б).

При основной вклад в сечение пропорциональный вносят малые значения , лежащие в интервале

Поэтому в выражении для можно положить т. е. заменить сечение образования струи виртуальным фотоном сечением образования струи реальным фотоном . В результате мы получим следующее выражение для сечения

    (4.8.12)

Выполнив интегрирование в выражении для получим

    (4.8.12)

и, следовательно, окончательно запишется в виде

    (4.8.13)

Эта формула связывает сечение образования струи при столкновении двух заряженных частиц, обменивающихся виртуальным фотоном, с сечением образования струи реальным фотоном (см. диаграммы на рис. 4.25, а, б).

Если при убывает с ростом степенным образом, то в формуле (4.8.13) важен только нижний предел интегрирования. Если же постоянно при больших растет с логарифмически, то в (4.8.13) существен только верхний предел интегрирования.

Формула (4.8.13) справедлива, если (Сечение так же как и сечение ), зависит, вообще говоря, от переменных, характеризующих струю; для простоты, однако, эти переменные не выписаны.)

Мы видим, что действие ультрарелятивистского электрона эквивалентно действию спектра реальных фотонов, число которых в интервале переменной равно . В системе отсчета, где и спектр эквивалентных фотонов приобретает вид

    (4.8.14)

Метод расчета сечения с помощью формулы (4.8.13) носит название метода эквивалентных фотонов или метода Вайцзеккера — Вильямса [40].

Покажем, что формулу (4.8.14) можно получить из классического рассмотрения электромагнитного поля быстро движущейся частицьь Обратимся для этого к уравнениям

    (4.8.15)

для 4-потенциала поля, создаваемого равномерно движущейся заряженной частицей (с — скорость частицы). Раскладывая 4-потенциал в интеграл Фурье, легко найти электрическое и магнитное поля, создаваемые частицей, движущейся вдоль оси

(Учитывая, что величину R можно представить также в виде ) Из (4.8.15) следует, что компонента поля перпендикулярная скорости v, в раз больше параллельной компоненты

т. е. поле быстрой заряженной частицы является практически поперечным, как поле световой волны.

Чтобы найти число эквивалентных фотонов, соответствующих полю частицы, найдем полный поток электромагнитной энергии вдоль направления V:

    (4.8.16)

Подставляя сюда разложение Фурье для получим

(верхний предел здесь порядка ). С другой стороны, эта величина может быть выражена через спектр эквивалентных фотонов

Сравнение этих формул приводит к выражению (4.8.12) для