1.1.3. Решения с положительными и отрицательными частотами.

Чтобы понять смысл четырех компонентной волновой функции, найдем решение уравнения Дирака для свободного электрона.

Представим волновую функцию электрона в виде интеграла Фурье

Тогда компонента Фурье — волновая функция электрона в импульсном пространстве — будет удовлетворять, согласно (1.1.1), уравнению

Подставляя сюда в виде столбца из двух спиноров и используя для матрица, представление получим для уравнения, представляющие собой преобразование Фурье уравнений (1.1.7):

Решения этих уравнений содержат, очевидно, время в виде , где частота — некоторая константа, определяемая из уравнений

Из условия разрешимости этой системы

найдем

Эти значения частоты представляют собой, очевидно, Собственные значения оператора

который мы интерпретировали в п. 1.1.1 как гамильтониан свободного электрона,

Таким образом, существуют два типа решений уравнения Дирака для свободного электрона — решения с положительными частотами

и решения с отрицательными частотами

где

Спиноры удовлетворяют уравнениям (1.1.18) соответственно при . Поэтому один сиинор может быть выбран произвольно, второй же выразится через первый. Задавая, например, можно найти

Общее решение уравнения Дирака для свободного электрона можно разделить на решения с положительными и отрицательными частотами:

Такое разделение, очевидно, релятивистски инвариантно, так как при собственных преобразованиях Лоренца знак частоты не может измениться (наименьшая положительная частота равна , а наибольшая отрицательная частота равна , т. е. области частот разных знаков разделены конечным интервалом в то

время как собственные преобразования Лоренца определяются только непрерывными параметрами).

Так как решения с положительными и отрицательными частотами относятся к различным собственным значениям оператора Н, который является самосопряженным, то эти решения взаимно ортогональны:

существование решений уравнения Дирака двух типов — с положительными и отрицательными частотами — имеет фундаментальное значение. Оно приводит к выводу, что в релятивистской квантовой механике невозможно сохранить обычную интерпретацию нерелятивистской квантовой механики, согласно которой собственные значения гамильтониана имеют смысл значений энергии частицы. Действительно, частоты со представляют собой собственные значения гамильтониана свободного электрона. Поэтому, если бы была справедлива обычная интерпретация собственных значений гамильтониана, то это означало бы существование у свободного электрона состояний с отрицательной энергией и отсутствие наинизшего энергетического состояния. В свою очередь отсюда следовало бы, что при взаимодействии с другими частицами электрон мог бы неограниченно отдавать свою энергию, переходя во все более низкие энергетические состояния, что физически абсурдно.

Таким образом, мы приходим к заключению о необходимости изменения в релятивистской квантовой механике электрона основного положения иерелятивистской квантовой механики, касающегося интерпретации собственных значений гамильтониана.

Чтобы сформулировать это изменение, необходимость которого диктуется наличием решений с отрицательными частотами, следует исходить из того, что наряду с электроном существует другая частица — позитрон, которая отличается от электрона только знаком электрического заряда. Поэтому можно сказать, что существует некая единая частица, могущая находиться в двух состояниях, различающихся только знаком заряда. Эта единая частица должна описываться уравнением Дирака, и естественно считать, что двум ее зарядовым состояниям соответствуют положительные и отрицательные частоты. Иными словами, решениям с положительной частотой мы будем сопоставлять электронные состояния, а решениям с отрицательной частотой позитронные состояния.

Построим волновую функцию позитрона . Она должна строиться с помощью функции содержащей отрицательные частоты, . Но мы хотим интерпретировать величину как энергию частицы, т. е. позитрона. Поэтому функция должна быть некоторой линейной комбинацией компонент или поскольку именно они, а не компоненты пропорциональны

. Функция удовлетворяет, очевидно, уравнению (1.1.17)

волновая же функция позитрона должна удовлетворять уравнению (1.1.9)

    (1.1.20)

которому удовлетворяет и волновая функция электрона . Последнее уравнение должно быть следствием уравнения для Поэтому мы можем положить

    (1.1.21)

где С — некоторая численная четырехрядная матрица. Подстановка этого выражения в (1.1.20) и сравнение с уравнением для показывает, что должны выполняться соотношения

    (1.1.22)

которые в принципе должны служить для определения матрицы С.

Легко проверить, что если матрицы определяются соотношениями (1.1.10), то матрица С имеет вид

Матрица С носит название матрицы зарядового сопряжения. Мы вернемся к ней в п. 1.2.6.

Итак, если произведено разбиение общего решения уравнения Дирака для свободной частицы на решения с положительными и отрицательными частотами,

то мы будем интерпретировать как волновую функцию электрона, а функцию, зарядово-сопряженную по отношению к как волновую функцию позитрона:

Ясно, что как так и будут содержать только положительные частоты.

Отметим, что, определив таким образом волновую функцию позитрона, мы выходим за рамки допустимых в квантовой механике линейных преобразований, так как подвергаем часть решений уравнения Дирака антилинейному преобразованию (содержащему комплексное сопряжение). По этой причине общее решение уравнение Дирака

не имеет смысла волновой функции частицы (который имеют порознь