§ 1.6. Движение в однородных полях

1.6.1. Уравнения, описывающие электрон в однородном электромагиитном поле.

Перейдем теперь к изучению движения электрона в постоянном и однородном электромагнитном поле.

Как и в случае свободного электрона, уравнение Дирака в поле не определяет поляризацию электрона. Чтобы описать состояние поляризации, следует найти такой оператор R, который коммутировал бы с оператором и для которого волновая функция электрона была бы собственной функцией. Такой оператор может быть выбран в виде

где — тензор поля. Действительно, учитывая, что имеем

Замечая далее, что

- единичный антисимметричный тензор), можно записать R в виде

Уравнение, определяющее поляризацию электрона, приобретает теперь вид

    (1.6.1)

где — собственное значение оператора R.

Сравнение этой формулы с (1.1.32) показывает, что оператор играет роль, аналогичную 4-вектору поляризации

Мы будем изучать движение электрона в двух случаях: когда имеется постоянное и однородное магнитное поле , направленное вдоль оси либо когда имеется постоянное и однородное электрическое поле Е, направленное вдоль оси . Оба случая могут быть объединены, если считать, что 4-потенциал имеет вид

где f, а и b соответственно равны

Решение уравнения Дирака

будем искать в виде

    (1.6.2)

где

    (1.6.3)

— постоянные 4-векторы, причем и функция удовлетворяет уравнению

    (1.6.4)

Уравнение (1.6.1), определяющее состояние поляризации электрона, приобретает вид

где — (здесь и далее в этом пункте считается, что аргументы всех квадратных корней из вещественных чисел равны либо нулю, либо ).

Введем теперь четыре постоянных биспинора определяемых уравнениями

    (1.6.6)

Для того чтобы фиксировать относительную фазу биспиноров и и- присоединим к этим уравнениям уравнение

    (1.6.6)

Биспиноры линейно-независимы, и по ним может быть разложена функция

Подставляя это выражение в (1.6.4) и опуская индекс характеризующий поляризацию, получим

    (1.6.7)

где Отсюда следует, что удовлетворяет уравнению

    (1.6.8)

Решения уравнений такого типа выражаются через функции параболического цилиндра удовлетворяющие уравнению

и рекуррентным соотношениям

При вещественных функции параболического цилиндра будут ограниченными в том случае, когда — целое неотрицательное число.