§ 5.5. Радиационные поправки к сечениям комптоновского рассеяния, образования и аннигиляции пар и тормозного излучения

5.5.1. Радиационные поправки к сечению комптоновского рассеяния.

Перейдем к определению радиационных поправок к сечениям процессов рассеяния, в которых наряду с электроном участвуют

вугот фотоны. Начнем с эффекта Комптона [18]. На рис. 5.9 представлены диаграммы, изображающие основной эффект

Рис. 5.9.

Комптона (диаграмма ) и радиационные поправки к нему порядка а (диаграммы кроме этих диаграмм, нужно, естественно, учитывать также и диаграммы, отличающиеся от изображенных заменой ). Матричные элементы, соответствующие этим диаграммам, равны

    (5.5.1)

где

(здесь приняты те же обозначения, что и в § 4.2; матрицы отличаются от матриц перестановкой импульсов фотонов ).

Сечение основного процесса равно

где

Сечение комптоновского рассеяния с учетом радиационных поправок порядка а может быть представлено в виде

где

Вводя обозначения

легко убедиться, что . Поэтому можно переписать в виде

    (5.5.2)

где

Найдем прежде всего . Найдя следы матриц по формулам (1.2.17), можно привести к виду

    (5.5.3)

где

— интегралы типов

и

(нижние индексы у обозначают проекции 4-вектора в числителе подынтегрального выражения, а верхний — указывает на недостающий в знаменателе множитель одного из типов )

Эти интегралы могут быть вычислены согласно правилам приложения А.1:

где обозначает логарифмически расходящуюся константу § 5.1:

Величины очевидно, равны между собой: . Замечая, что регуляризованное выражение входящее в имеет вид

получим

    (5.5.4)

где коэффициенты А, В, С и D определены в формуле (5.1.39). Найдем, наконец, . Регуляризованное выражение имеет

где определяется формулой (5.1.10)

Используя это выражение, найдем

Складывая , получим окончательно следующее выражение для Р:

    (5.5.6)

В величину определяющую радиационные поправки к сечению эффекта Комптона, входит «масса» фотона к. Для того чтобы исключить ее, нужно, так же как это было сделано при рассмотрении радиационных поправок к сечению рассеяния электрона во внешнем поле, учесть в эффекте Комптона излучение дополнительного мягкого фотона. Такой процесс мы будем называть двойным эффектом Комптона.

В лабораторной системе отсчета сечение двойного эффекта Комптона может быть представлено, согласно общему результату п. 5.4.4, в следующем виде:

    (5.5.7)

где — сечение основного эффекта Комптона и

( — максимальная энергия фотона). Суммарное сечение рассеяния фотона электроном с учетом как радиационных поправок, так и излучения дополнительного мягкого фотона определяется формулой

    (5.5.9)

Эта величина, как легко видеть, не содержит «массы» фотона.

Приведенные общие формулы сильно упрощаются в предельных случаях малых и больших энергий фотона. В области малых энергий, когда , сечение рассеяния имеет вид

    (5.5.10)

где

( — угол рассеяния).

В области больших энергий мы будем различать три случая в зависимости от величины параметра (в лабораторной системе этот параметр равен ):

В первом случае при этом в лабораторной системе . Во втором случае , и в лабораторной системе . В третьем случае и в лабораторной системе

В первом случае

    (5.5.12)

Во втором случае

Наконец, в третьем случае

    (5.5.14)

Величина UD во втором и третьем случаях определяется формулой

    (5.5.15)

в первом же случае следует пользоваться общей формулой (5.5.8).