Чтобы найти входящую сюда численную константу а, достаточно найти фотонную функцию Грина во втором приближении теории возмущений. Эта задача будет решена в п. 5.1.2, где мы покажем, что
Поэтому окончательно
имеет вид [14]
(3.8.19)
Это асимптотическое выражение для
справедливо при выполнении двух условий
(3.8.20)
Мы считали, что
и, соответственно,
. В действительности
содержит члены
члены
Поправки к
и, соответственно, поправки к
приводят к следующему выражению для функции
Аналогичным образом, повторяя рассуждения, приводящие к (3.8.19), можно получить следующий результат для константы перенормировки
(3.8.22)
причем
На основании соотношения (3.8.22) мы можем найти теперь связь между перенормированным и неперенормированным зарядами
Мы видим, что
. Это неравенство имеет простой физический смысл. Заряд реального электрона меньше заряда «голого» электрона, так как последний окружен облаком электронно-позитронных пар, экранирующих первичный заряде, внешний же наблюдатель воспринимает действие экранированного заряда.
В п. 3.8.1 мы показали, что
представляет собой формфактор «точечного» заряда, т. е. фурье-образ пространственного распределения заряда «точечного» электрона. Согласно (3.8.19) этот формфактор превосходит единицу при
т. е. на
расстояниях от «центра» электрона, меньших
С уменьшением расстояния формфактор увеличивается. На расстояниях порядка
формфактор практически не отличается от единицы, иными словами, на этих и больших расстояниях уже не чувствуется экранирование первичного заряда.
С учетом более высоких приближений можно получить следующее выражение для Z:
Выясним теперь, как ведет себя в области больших импульсов электронная функция Грина. Согласно (3.8.14) зависимость
от
при
определяется функцией одного аргумента
Предполагая, что функция
разложима в ряд по степеням
и поступая так же, как и при выводе (3.8.19), можно показать [21], что
где
— некоторые численные константы, которые могут быть найдены из сравнения (3.8.25) с результатом вычисления во втором приближении теории возмущений:
В отличие от фотонной и электронной функций Грина, вершинная функция в области больших импульсов зависит, как можно показать, не от одного, а от трех аргументов
Поэтому, не делая определенных предположений об этих инвариантах, из одного только предположения о разложимости функций
в ряд по степеням
нельзя получить соотношений, аналогичных (3.8.19) и (3.8.25). В дальнейшем
мы еще вернемся к вопросу об асимптотике вершинной функции.