4.5.7. Превращение пары в один фотон.

При столкновении позитрона с несвободным электроном обе частицы могут превратиться в один фотон [30]. Такой процесс определяется матричным элементом первого порядка

    (4.5.43)

где — волновые функции электрона в поле, соответствующие отрицательной и положительной частотам и описывающие позитрон с энергией и электрон с энергией

Если электроном является атомный -электрон и при этом то в качестве может быть взята функция (4.1.28). В качестве же следует взять функцию

где Сравнение, формул (4.1.18) и (4.5.43) показывает, что если в матричном элементе, определяющем фотоэффект, произвести

извести замену

    (4.5.44)

то этот матричный элемент перейдет в матричный элемент, определяющий однофотонную аннигиляцию. Поэтому мы можем не производить здесь вычислений квадрата модуля матричного элемента, а воспользоваться сразу результатами п. 4.1.5. В отличие от фотоэффекта плотность конечных состояний будет теперь не , где — элементы телесных углов, в которых лежат импульсы электрона и фотона. Кроме того, при определении сечения однофотонной аннигиляции пары следует учитывать, что плотность потока падающих частиц будет равна скорости позитронов , а не скорости света, как это было в случае фотоэффекта. Учитывая эти изменения, можно получить следующую формулу для сечения однофотонной аннигиляции позитрона на -слое (отнесенную к двум -электронам):

Рис. 4.18

Эта формула, так же как и формула (4.1.30) для сечения фотоэффекта, справедлива, если

В нерелятивистском и крайне релятивистском случаях формула (4.5.45) приобретает вид

    (4.5.46)

Мы видим, что сечение однофотонной аннигиляции позитрона при малых энергиях пропорционально скорости позитрона в отличие от сечения двухфотонной аннигиляции, которое обратно пропорционально Поэтому при малых энергиях позитрона однофотон аннигиляция значительно менее вероятна, чем двухфотонная аннигиляция. Отношение сечений однофотонной и двухфотонной аннигиляций максимально при и составляет около 0,2 для свинца.