4.5.4. Аннигиляция пары в два и три фотона.
Наряду с образованием электронно-позитронных пар фотонами возможны процессы превращения пар в фотоны. Эти процессы называются аннигиляцией пары. Если электрон и позитрон являются свободными, то аннигиляция с испусканием одного фотона невозможна, так как этот процесс не допускается законами сохранения энергии и импульса.
Рис. 4.14.
Наиболее важным является процесс, при котором сталкивающиеся свободные позитрон и электрон превращаются в два фотона [25, 26]. Двухфотонной аннигиляции пары соответствуют две диаграммы на рис. 4.14. Они совпадают с диаграммами,
изображающими рождение пары двумя фотонами, — процесс, обратный двухфотонной аннигиляции.
Матричный элемент, определяющий двухфотонную аннигиляцию, может быть, согласно правилам п. 3.4.4, записан в виде
где использованы те же обозначения, что и в (4.5.15). Дифференциальное сечение аннигиляции равно
где
Структура матрицы Q совпадает, очевидно, со структурой соответствующей матрицы в комптон-эффекте: сделав в последней замену
мы получим Q. Поэтому можно сразу воспользоваться готовыми результатами § 4.2 и написать следующее выражение для просуммированной и усредненной по поляризациям частиц величины
:
Дальнейшие вычисления удобно производить в с. ц. и. пары, в которой
(
- скорость частиц в с. ц. и.).
Устраняя
-функции интегрированием по
, получим
где
элемент телесного угла, в котором заключен импульс фотона k, и
- угол между
. Таким образом,
Чтобы найти интегральное сечение аннигиляции пары, нужно проинтегрировать
по
от 0 до
и по
от 0 до
(такие пределы соответствуют тому обстоятельству, что возникающие в конечном состоянии частицы — фотоны — неразличимы). В результате мы получим
Так как эта величина представляет собой релятивистский инвариант, то для перехода в другую систему достаточно выразить
через энергию частиц в этой системе.
Рассмотрим наиболее интересный случай, когда аннигиляция происходит в результате столкновения позитрона с покоящимся электроном. Подставляя в (4.5.24)
где
— энергия позитрона в системе покоя электрона, получим
где
При малых энергиях позитрона сечение обратно пропорционально скорости позитрона:
(4.5.26)
а вероятность аннигиляции w не зависит от скорости;
(4.5.27)
где
— число атомов в единице объема. Время жизни медленного позитрона равно
для свинца
. При больших энергиях позитрона
Приведем теперь выражение для сечения трехфотонной аннигиляции пары (см. диаграмму рис. 4.16), ограничиваясь случаем больших энергий, в с. ц. и.
(4.5.29)