ПРИЛОЖЕНИЕ

А.1. Вычисление интегралов по инвариантному объему в 4-импульсном пространстве.

Мы разъясним здесь технику вычисления встречающихся в квантовой электродинамике интегралов.

Интегральные выражения, сопоставляемые, согласно правилам Фейнмана, различным диаграммам, имеют следующую структуру:

где F — некоторый полином относительно 4-нмпульсов — полиномы второй степени относительно Вычисление таких интегралов удобно производить, воспользовавшись предварительно тождеством

При это тождество очевидно, так как

Но его легко доказать и в общем виде.

Используя тождество получим интеграл в -пространстве вида

где а и I зависят от параметров . Искомый интеграл I получается из интегрированием по (Этот метод вычисления интегралов мы будем называть методом параметризации

Перейдем к вычислению интеграла Предположим сначала, что интеграл сходится. В этом случае можно сделать преобразование , после чего интеграл приобретает вид

Достаточно, очевидно, ограничиться рассмотрением случая, когда представляет собой некоторую скалярную функцию от Действительно, если то если то

В интеграле интегрирование по производится в соответствии с правилом обхода полюсов, т. е. вдоль пути С, изображенного на рис. А.1. Но этот путь можно, очевидно, повернуть на как указано на рис. А.2. При этом заменится на перейдет в где -вещественная величина. Таким образом, поворот пути интегрирования С на соответствует переходу в -простраистве к обычной евклидовой метрике.

Рис. А.1

Рис. А.2

Так как (предполагается выполненным интегрирование по углам), то мы приходим к однократному интегралу

В частности,

Перейдем теперь к рассмотрению расходящихся интегралоа типа Так как в квантовой электродинамике не встречается расходимостей выше квадратичной, то речь идет об интегралах следующих четырех типов:

Мы будем производить во всех этих интегралах интегрирование по некоторой конечной инвариантной области (Q), характеризующейся числом N, причем предел соответствует всему бесконечному четырехмерному пространству . Такая конечная инвариантная область может быть определена, например, неравенствами где -произвольный времени-подобный четырехмерный зектор [2].

Так как интегрирование по при постоянном не приводит к расходимости, то путь интегрирования по (см. рис. А.1, А.2) можно так же, как Н при вычислении сходящихся четырехмериых интегралов повернуть

на . После такого поворота мы полупим четырехмерное евклидово -пространство с вещественной четвертой координатой, и область интегрирования станет четырехмерной сферой, радиус которой мы обозначим через L и отождествим с введенным в § 3.7 предельным импульсом.

Переходя к вычислению интересующих нас расходящихся интегралов, качнем с логарифмически расходящегося интеграла

Повернув путь интегрирования по на и воспользовавшись формулой (А. 1.6), имеем

Вычислив последний интеграл и отбросив члены порядка получим

Рассмотрим далее интеграл , который так же как и интеграл расходится логарифмически. Переписав тот интеграл в виде

сделаем замену переменных Тогда интеграл приобретет вид (А.1.8) с измененной, однако, областью интегрирования, которую мы обозначим через Согласно интеграл будет равен отличается от L на конечную величину, поэтому если L достаточно велико, то отличается от на малую величину порядка и окончательйо мы получим

Вычислим теперь логарифмически расходящийся интеграл I). Так же, как и при вычислении интеграла мы можем сделать смещение начала координат, введя новую переменную интегрирования

Замечай, что

получим окончательно

Переходя к вычислению интеграла заметим, что

и что 4-вектор должен быть направлен вдоль Отсюда и из следует:

Обратим внимание на то, что если бы мы вычисляли этот интеграл, сделав замену переменной (при той же области интегрирования то получили бы в результате Таким образом, при преобразовании , т. е. смещении начала координат на к, расходящийся интеграл получает добавку

Рассмотрим, наконец, квадратично расходящийся интеграл . Проинтегрировав выражение по получим

где g — некоторая функция от N и содержащая квадратично расходящуюся при константу. Легко видеть, что g представляет собой линейную функцию от Действительно, левая часть при преобразовании где — произвольное число, приобретает множитель что возможно только в том случае, если

где — квадратично расходящаяся константа, а а и b — некоторые числа умножается на логарифмически расходящуюся константу а не на так как только при этом оба слагаемых в g будут иметь одинаковую размерность).

Продифференцировав по получим интересующий нас интеграл

Для того чтобы найти а и b и выразить через L, можно поступит следующим образом. Представим в виде

Второй интеграл в (А.1.14) может быть немедленно вычислен:

Интеграл же с помощью формулы

приводится к виду

Так как

то, применяя еще раз формулу (А.1.15), получим

Входящий сюда интеграл по расходится логарифмически и может быть вычислен так же, как и интегралы Поступая таким образом, найдем

Приведем в заключение сводку вычисленных интегралов: