§ 5.4. Радиационные поправки к сечениям рассеяния электрона во внешнем поле и рассеяния электрона электроном

5.4.1. Дифференциальное сечение рассеяния электрона в кулоновском поле ядра с учетом радиационных поправок порядка a.

Перейдем к определению радиационных поправок к сечениям различных процессов рассеяния электрона. Начнем с рассеяния электрона в кулоновском поле ядра [6].

Рис. 5.4.

Диаграммы, изображающие процесс рассеяния во внешнем поле в первом приближении и радиационные поправки к нему в третьем приближении теории возмущений, представлены на рис. 5.4.

В случае кулоновского поля ядра с зарядом величина равна

Используя формулу (5.3.5) для величины описывающей взаимодействие электрона с внешним полем, можно представить в виде

    (5.4.2)

где связано с изменением импульса q и углом рассеяния Ф соотношениями

Для получения сечения рассеяния с учетом радиационных поправок нужно еще учесть второе борновское приближение для амплитуды рассеяния. Соответствующая величина равна

    (5.4.3)

Легко убедиться, что входящий сюда интеграл расходится для чисто кулоновского поля, поэтому мы будем производить вычисления, считая кулоновское поле ядра экранированным где — некоторая положительная константа. При этом

Вводя обозначения

представим в виде

Эта формула в пределе определяет поправку к амплитуде рассеяния во втором борцовском приближении.

Вычислим входящие в (5.4.4) интегралы Рассмотрим сначала интеграл

Вводя новую переменную и замечая, что подынтегральное выражение не меняется при замене - перепишем L в виде

Выполнив интегрирование по s с помощью теоремы о вычетах, получим

Интегралы связаны простыми соотношениями с производными от L по :

В результате мы получим

    (5.4.6)

Отметим, что при

    (5.4.7)

Определим теперь дифференциальное сечение чисто упругого рассеяния электрона, усредненное по ориентациям его спина в начальном и конечном состояниях:

    (5.4.8)

где — плотность потока электронов (нормировочный объем предполагается равным единице), — плотность конечных состояний электрона, отнесенная к единичному интервалу энергии и единичному телесному углу,

— элемент телесного угла, в котором лежит Используя найденные выражения для и Мполучим

    (5.4.9)

где у — скорость электрона. Мы видим, что сечение содержит «массу» фотона ; что же касается константы экранирования то она не входит в

Заметим, что входящий в (5.4.9) интеграл можно преобразовать к виду