3.3.2. Импульсное представление.

Чтобы найти величины удобно перейти к импульсному пространству. Представим для этого связи между операторами полей , а также 4-потенциал внешнего электромагнитного поля в виде интегралов Фурье

и подставим их вместе с выражениями для матричных элементов операторов полей

В то из нормальных произведений под знаком интеграла для которое соответствует Собирая множители с определенным и выполняя интегрирование по мы получим произведение четырехмерных -функций , умноженное на , где служит для обозначения 4-векторов (число слагаемых под знаком -функции равно, очевидно, трем — по числу линий, проходящих через каждую вершину диаграммы).

Рис. 3.7. Очевидно, в импульсном представлении каждой линии диаграммы будет соответствовать некоторый четырехмерный вектор . Но функции связанные с внутренними линиями диаграммы, зависят от разности координат концов линии; поэтому в двух -функциях, возникающих при интегрировании -вектор , связанный с линией будет входить с разными знаками. Это дает возможность интерпретировать векторы , соответствующие внутренним линиям диаграммы, как четырехмерные импульсы виртуальных «частиц», «испускаемых» в одном конце и «поглощаемых» в другом конце внутренних линий. При этом, очевидно, между временной и пространственной составляющими четырехмерного импульса виртуальной частицы не существует никакой связи, .

Что касается внешних линий диаграммы, то им соответствуют, очевидно, четырехмерные импульсы реальных частиц, участвующих в процессе.

Чтобы получить окончательное выражение для необходимо расположить матрицы, действующие на спинорные индексы, в определенном порядке, произвести интегрирование по импульсам виртуальных частиц и переменным q (происходящим от разложения внешних потенциалов в интеграл Фурье) и просуммировать полученное выражение по поляризациям виртуальных фотонов.

Выясним прежде всего, в каком порядке должны быть расположены спинорные матрицы. Рассмотрим для этого пример — процесс рассеяния электрона во внешнем поле, изображенный на рис. 3.7. Соответствующее этому процессу нормальное произведение (под знаком интеграла в выражении для ) равно

Переставив местами а затем что не изменяет знака В, и используя (2.3.24) и (2.5.25), перепишем В в виде

(перестановка операторов приводит к дополнительному умножению на — 1). Это выражение показывает, что внутренней фотонной линии соответствует функция и две матрицы и которые должны быть сопоставлены ее концам (вершинам и ). При этом матрицы, действующие на спинорные индексы, т. е. матрицы и должны быть расположены в такой последовательности, считая слева направо, в которой они встречаются, если двигаться против направления электронной линии (см. рис. 3.7).

Выяснив, как должны быть расположены спинорные матрицы, мы можем теперь написать следующее общее выражение для в виде интеграла в импульсном пространстве:

Здесь интегрирование производится по четырехмерным импульсам виртуальных частиц, т. е. по переменным происходящим от множителей типа переменным происходящим от множителей типа а также по переменным происходящим от разложения внешних потенциалов в интеграл Фурье — числа внутренних электронных и фотонных линий, т. е. числа виртуальных электронов и фотонов, — число вершин, в которых действуют внешние потенциалы), — число замкнутых электронных петель с четным числом электронных линий, — четность перестановки электронных операторов (см. ниже), .

Кроме интегрирования, в этой формуле Производится суммирование по четырем значениям индекса v, обозначающим различные поляризации виртуальных фотонов, причем каждому виртуальному фотону соответствует свой индекс v, принимающий значения .

Отдельные множители в формуле имеют следующие значения.

Произведение представляет собой произведение биспиноров и величин описывающих электроны, позитроны и фотоны в начальном состоянии i; произведение обозначает аналогичное произведение для конечного состояния Миожителн происходят от связей электронных и фотонных операторов, причем число первых равно а вторых — Наконец, символ О служит для обозначения определенного порядка в расположении спинорных матриц, а именно матрицы действующие на спинорные индексы, должны быть расположены, считая справа налево, в такой последовательности, в какой они встречаются, если двигаться по направлению электронной линии диаграммы.

Рис. 3.8.

Специфическая особенность возникает в том случае, если диаграмма содержит замкнутые электронные петли с четным числом электронных линий (при нечетном числе электронных линий, входящих в петлю, матричный элемент равен нулю). В этом случае каждой электронной петле соответствует в выражении взятый со знаком минус след произведения матриц и относящихся к петле. Чтобы убедиться этом, рассмотрим

часть диаграммы, содержащую замкнутую электронную петлю, изображенную на рис. 3.8 (квадратики А и В обозначают произвольные, сколь угодно сложные диаграммы, вид которых не существен). Множитель, связанный с этой петлей, в общем выражении для нормального произведения, соответствующего рис. 3.8, имеет следующий вид: Используя выражения для связей операторов, получим

что и утверждалось выше.

Если диаграмма содержит I замкнутых электронных петель с четным числом линий, то приобретает множитель который входит в (3.3.2) наряду с множителем где определяет относительный знак в том случае, если в процессе участвует несколько электронов. Как было разъяснено выше, представляет собой четность перестановки индексов электронов

где числа нумеруют на диаграмме импульсы электронов до рассеяния, а числа — после рассеяния.

Легко показать, что диаграммам, содержащим замкнутые внутренние электронные петли, состоящие из нечетного числа отрезков, соответствует суммарный матричный элемент, равный нулю (теорема Фарри) [7].