5.3.3. Радиационное смещение уровней атома водорода.

Общие формулы (5.3.13) наглядно показывают, что радиационное смещение уровней обусловлено взаимодействием электрона с виртуальными фотонами, однако конкретное вычисление величины радиационного смещения по этим формулам очень сложно. Более удобным является следующий прием. Разобьем область интегрирования в (5.3.13) на две части, в первой из которых энергия фотона меньше некоторого значения К, а во второй — больше этого значения, и выберем величину К таким образом, чтобы она была значительно больше всех разностей атомных уровней и одновременно значительно меньше . Тогда в области очевидно, не имеет смысла пользоваться точным выражением (4.2.39) для функции напротив, при можно пренебречь влиянием связи электронов в атоме, т. е. можно заменить под знаком интеграла в на Иными словами, при можно пользоваться для S выражением (5.3.4) и, следовательно, можно находить вклад, вносимый в радиационное смещение «коротковолновыми» фотонами рассматривая величину определяемую формулой (5.3.7), как энергию возмущения.

В области необходимо, вообще говоря, пользоваться точной формулой (5.3.13). Она значительно упрощается при когда законно нерелятивистское приближение. Мы будем далее пользоваться этим приближением для определения вклада в радиационное смещение, вносимого «длинноволновыми» фотонами и покажем, что границы областей «коротковолновых» и «длинноволновых» фотонов входят в радиационное смещение под знаком логарифма (с одинаковым коэффициентом перед логарифмом). Это значит, что области «коротковолновых» и «длинноволновых» фотонов «сшиваются», т. е. промежуточная

жуточная область не вносит существенного вклада в радиационное смещение.

Перейдем к определению вкладов, вносимых в радиационное смещение атомных уровней «коротковолновыми» и «длинноволновыми» фотонами.

Рассматривая (см. формулу (5.3.7)) как возмущение и пренебрегая магнитным взаимодействием между электронами, получим следующее выражение для вклада в радиационное смещение уровня атома, вносимого «коротковолновыми» фотонами:

    (5.3.14)

где — нерелятивистские волновые функции атома, вычисленные без учета радиационной поправки к полю, создаваемому ядром и атомными электронами, — потенциал внешнего поля и . Это выражение содержит «массу фотона» , что и указывает на то, что формула (5.3.14) не учитывает вклада в радиационное смещение, вносимого «длинноволновыми» фотонами. Последний в нерелятивистском приближении определяется формулой

где ) — матричный элемент энергии взаимодействия электрона с фотоном:

— оператор скорости электрона и — вектор поляризации фотона с волновым вектором к и частотой Замечая, что

и переходя от суммирования по к к интегрированию, представим в виде

    (5.3.15)

где верхним пределом мы считаем величину К (учитывая логарифмическую зависимость результата от К).

В этом выражении нужно произвести теперь перенормировку массы. Для свободного электрона равно его электромагнитной массе (точнее, той части которая обусловлена взаимодействием электрона с фотонами, энергия которых меньше К). Но мы

уже включили в массу электрона и под энергией уровня понимаем полную энергию за вычетом . Поэтому мы должны вычесть из (5.3.15) соответствующее выражение для свободного электрона. Так как для свободного электрона отличны от нуля только диагональные элементы скорости, то в этом случае формула (5.3.15) приобретает вид

Отнимая это выражение от (5.3.15) и замечая, что , получим следующую формулу для радиационного смещения уровня обусловленного взаимодействием электрона с фотонами, энергия которых не превосходит К

    (5.3.16)

Выполнив интегрирование по и с учетом получим

Вводя далее величину , определяемую формулой

    (5.3.18)

перепишем в виде

Входящая сюда сумма равна

Поэтому окончательно

    (6.3.20)

Мы не делали пока никаких предположений о величине К. Выберем теперь К таким образом, чтобы минимальная энергия фотонов, взаимодействие с которыми еще учитывается формулой

(5.3.14), была равна К. При этом, согласно и сумма определяющая общее радиационное смещение уровня не будет содержать ни , ни

    (5.3.21)

В случае водородоподобного атома

— главное и орбитальное квантовые числа и Поэтому радиационное смещение уровней водородоподобного атома в -состояниях определяется формулой [10]

    (5.3.24)

а в состояниях с — формулой

    (5.3.25)

где

Мы видим, что радиационное смещение уровней водородоподобного атома составляет по порядку величины где — энергия основного состояния или а ДЕ, где — расщепление уровня, соответствующее тонкой структуре.

Для уровней водорода радиационные смещения (в МГц) составляют

Как известно, несмещенные состояния обладают одинаковой энергией, радиационные же смещения этих уровней различны, и уровень оказывается лежащим выше уровня примерно на 1051 МГц.

Приведенные формулы определяют радиационное смещение уровня порядка Можно показать, что в следующем приближении теории возмущений мы получим смещение уровня водородоподобного атома, равное [12]

    (5.3.26)

При это дает 7 МГц. Разность энергий уровней для водорода получается с учетом этой поправки равной 1057,19 МГц, тогда как экспериментальное значение этой величины равно [13].