§ 1.4. Момент импульса электрона

1.4.1. Шаровые спиноры.

До сих пор мы изучали состояния электрона, характеризующиеся определенными значениями энергии, импульса и проекции спина на импульс. Но свободный электрон может находиться также в состояниях с определенными значениями энергии, квадрата момента импульса и проекции момента на какую-либо неподвижную ось. Перейдем теперь к изучению таких состояний.

Оператор момента электрона (мы будем употреблять термин момент вместо момент импульса) J складывается из оператора орбитального момента L и оператора спинового момента

где

— оператор импульса и — матрицы Паули.

Проекции момента J удовлетворяют перестановочным условиям

Кроме того, квадрат момента коммутирует с каждой из его проекций:

Таким же условиям удовлетворяют проекции L и

Легко видеть, что гамильтониан свободного электрона коммутирует с операторами квадрата момента Р и проекции момента на произвольную ось (мы будем называть ее осью )

Поэтому операторы имеют общие собственные функции

где — собственные значения (в дальнейшем мы часто будем опускать в числе индексов волновой функции частоту а).

Волновую функцию — биспинор — можно представить в виде столбца

где спиноры удовлетворяют уравнениям (1.1.18)

и, кроме того, уравнениям

где

Определим угловые части спиноров , т. е. их зависимости от углов . Для этого нет необходимости решать написанные уравнения, а достаточно воспользоваться квантовомеханическим правилом сложения моментов — орбитального и спинового. Действительно, собственные функции орбитального момента

хорошо известны — это шаровые функции , удовлетворяющие уравнениям

Известны также собственные функции спинового момента (а), где — спиновая переменная, — проекция спина на ось Так как

Поэтому собственные функции оператора полного момента электрона будут выражаться в виде билинейной комбинации собственных функций двух электронных подсистем — орбитальной и спиновой:

    (1.4.2)

где — единичный вектор в направлении — так называемые коэффициенты векторного сложения или коэффициенты Клебша — Гордана и Значения коэффициентов приведены в таблице.

Коэффициенты

Функции определены в пространстве угловых переменных и спиновой переменной а. Поэтому они являются спинорами в пространстве и формулу (1.4.2) можно рассматривать как разложение этих спиноров по ортонормированным спинорам а величины

— как их контравариантные компоненты. Эти компоненты (мы обозначаем их для спинора Ф через определяются с помощью разложения

а так как

Величины образуют спинор

    (1.4.3)

который называется шаровым спинором или спинорной шаровой функцией.

Шаровые спиноры определяют угловую зависимость спиноров образующих вместе биспинор При этом, если в входит шаровой спинор , то в будет входить шаровой спинор , где . Это обстоятельство связано с тем, что значения I и V должны быть различны (при не могут удовлетворяться уравнения (1.4.1)). Поэтому из правила сложения моментов следует, что, если , то

Как следует из (1.4.1), спинор пропорционален . Но при пространственных вращениях ведет себя так же, как Поэтому угловая часть спинора определяется произведением на . С другой стороны, она имеет вид . Поэтому должно иметь место равенство , где с — некоторая константа. Чтобы найти ее, выберем направление вдоль оси . Используя определение шарового спинора (1.4.3) и явные выражения для коэффициентов получим , т. е.

    (1.4.4)

Шаровые спиноры образуют ортонормированную систему функций

где — элемент телесного угла, в котором лежит вектор .