3.1.3. Представление взаимодействия.

Совершив над гейзенберговскими операторами F каноническое преобразование

    (3.1.19)

где Н — гамильтониай системы, мы перейдем к шредингеровскому представлению, в котором операторы не изменяются с течением времени:

(это соотношение немедленно вытекает из (3.1.19)).

Преобразованию операторов (3.1.19) соответствует преобразование вектора состояния

    (3.1.20)

где зависящий от времени вектор состояния в гейзенберговском представлении. Ясно, что вектор состояния в шредингеровском представлении удовлетворяет уравнению Шредингера

    (3.1.21)

где — гамильтониан рассматриваемой динамической системы в шредингеровском представлении, совпадающий, согласно (3.1.19), с гамильтонианом в гейзенберговском представлении,

Шредингеровеким представлением можно пользоваться не только в нерелятивистской квантовой механике, но и в теории квантованных полей. Однако гораздо удобнее пользоваться не шредингерозским и не гейзенберговским, а некоторым промежуточным представлением — представлением взаимодействия, к рассмотрению которого мы теперь и перейдем.

Разобьем гамильтониан системы на два слагаемых: которые будем условно называть свободным гамильтонианом и гамильтонианом взаимодействия, и произведем каноническое преобразование шредингеровских операторов

    (3.1.22)

и векторов состояния

    (3.1.23)

(предполагается, что в момент времени совпадают операторы ) и F и векторы состояний Будем теперь характеризовать кзантовомеханическую систему векторами состояний и сопоставлять физическим величинам операторы F. Такой метод квантовомеханического описания и называется представлением взаимодействия.

Выясним, как изменяются со временем операторы и векторы состояний в этом представлении. Замечая, что получим из (3.1.22)

или

    (3.1.24)

где, согласно (3.1.22),

Таким образом, в представлении взаимодействия операторы изменяются в соответствии с общим квантовомеханическим законом движения для гейзенберговских операторов, в который, однако, входит не полный гамильтониан системы, а лишь одна его часть — свободный гамильтониан.

Определим далее . Учитывая (3.1.23), получим

а так как , то

    (3.1.25)

Таким образом, вектор состояния в представлении взаимодействия удовлетворяет уравнению Шредингера с гамильтонианом

Итак, в представлении взаимодействия изменяются как операторы, так и векторы состояний, причем в закон изменения операторов входит одна часть, а в уравнение Шредингера — другая часть исходного гамильтониана системы.

Полагая

мы свяжем вектор состояния в представлении взаимодействия с вектором состояния Ф в гейзенберговском представлении:

    (3.1.26)

где

(предполагается, что вектор состояния совпадает с Ф в момент времени . Так как , то оператор удовлетворяет такому же уравнению, как и

    (3.1.27)

Этот же оператор (мы будем называть его оператором преобразования) связывает операторы, соответствующие различным физическим величинам, в гейзенберговском представлении и представлении взаимодействия. Действительно, подставляя в (3.1.22)

получим

    (3.1.28)

Из определения следует, во-первых, что

    (3.1.29)

и, во-вторых, что оператор унитарен, если только операторы эрмитовы. Отсюда и из (3.1.27) в свою очередь следует, что

Используя это выражение для и соотношение (3.1.28), легко убедиться, что

Заметим, наконец, что при любом выборе момента времени

    (3.1.31)

В квантовой электродинамике использование представления взаимодействия имеет особые преимущества [3]. Действительно,

разбив гамильтониан системы взаимодействующих полей на два слагаемых — гамильтониан свободных полей и гамильтониан взаимодействия, мы получим в соответствии с законом изменения операторов в представлении взаимодействия для операторов полей уравнения, совпадающие с уравнениями для операторов свободных полей. Это значит, что в представлении взаимодействия можно считать известным явный вид операторов полей, а также перестановочные соотношения между ними в любой момент времени.

Напомним в этой связи, что исходные уравнения квантовой электродинамики в гейзенберговском представлении, — формально наиболее близком к классической теории — представляют собой сложную систему связанных нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных для операторных функций с известными только в начальный момент времени перестановочными соотношениями. Исключив взаимодействие между полями из уравнений движения для операторов полей, мы переносим его из этих уравнений в уравнение Шредингера для вектора состояния в представлении взаимодействия.

Операторы полей в представлении взаимодействия связаны, согласно (3.1.28), с операторами полей в гейзенберговском представлении соотношениями

где — оператор преобразования, удовлетворяющий уравнению

— гамильтониан взаимодействия в представлении взаимодействия:

    (3.1.33)

Последнее выражение можно, очевидно, переписать в виде

где — оператор плотности тока в представлении взаимодействия, выражающийся через так же, как выражается через

Используя (3.1.32), легко убедиться, что гамильтониан свободных полей в представлении взаимодействия выражается через так же, как оператор выражается через (см. (3.1.14), (3.1.15)).

Имея выражение для и используя (3.1.24), можно установить, как изменяются операторы полей со временем в представлении взаимодействия. Учитывая, что операторы полей в представлении взаимодействия удовлетворяют в совпадающие моменты времени таким же перестановочным соотношениям, как и операторы в гейзенберговском представлении, мы получим, как и следовало ожидать, уравнения, совпадающие с уравнениями для операторов свободных полей в гейзенберговском представлении:

Легко показать, что перестановочные соотношения для операторов полей в представлении взаимодействия совпадают с перестановочными соотношениями для операторов свободных полей.

Нам остается сформулировать добавочное условие для вектора состояния в представлении взаимодействия. В гейзенберговском представлении это условие имеет вид

а так как вектор состояния в представлении взаимодействия евязан с вектором состояния Ф в гейзенберговском представлении соотношением , то добавочное условие можно записать в виде

где t произвольно.