1.7.2. Амплитуда и сечение рассеяния.

Волновая функция описывает процесс упругого рассеяния частиц в центральном поле. Первый член асимптотической формулы (1.7.1) (плоская волна) отвечает частицам, «падающим» из бесконечности на рассеиватель, а расходящаяся волна — рассеянным частицам. По смыслу обоих слагаемых, входящих в эту формулу, величина , где представляет собой плотность потока падающих частиц на бесконечности. Величина же

где представляет собой число частиц с поляризацией рассеянных в единицу времени в элемент телесного угла около направления . (Мы использовали при этом разложение биспинора

по состояниям с определенной поляризацией

Разделив на получим дифференциальное сечение рассеяния частиц, обладающих в конечном состоянии поляризацией

При нормировке дифференциальное сечение приобретает вид

    (1.7.11)

Величину мы будем называть амплитудой рассеяния.

Амплитуда рассеяния определяется асимптотикой волновой функции при . Но ее можно связать также с волновой функцией частицы в области, где отлична от нуля потенциальная энергия . Действительно, записав решение уравнения Дирака (1.3.31) в виде

и используя формулу (1.3.37), из которой следует

где имеем

Отсюда легко заключить, что

Так как

    (1.7.14)

Можно связать также с функцией входящей в (1.3.18):

Выполняя в слагаемом, содержащем интегрирование по частям и учитывая, что , получим

Усреднив по поляризациям частицы в конечном состоянии, найдем дифференциальное сечение рассеяния падающих частиц

с поляризацией

    (1.7.16)

Используя теперь представление (1.7.7) для функции получим

    (1.7.17)

где вместо использовано обозначение .

Связь между спинорными амплитудами рассеянной и падающей волн (мы опускаем в дальнейшем значок удобно представить в виде

    (1.7.18)

где — некоторая двумерная матрица. Она должна, очевидно, иметь следующую структуру:

где а — скаляр, а аксиальный вектор. Но единственным аксиальным вектором, который можно построить в задаче о рассеянии, является вектор Поэтому можно записать в виде

    (1.7.19)

или

где — сферические координаты вектора в системе, в которой вектор v направлен вдоль полярной оси. Функции можно найти, сравнивая (1.7.18) с (1.7.8). Используя явный вид шаровых спиноров и матриц получим

    (1.7.20)

где — полином Лежандра, .

Таким образом, амплитуда рассеяния и дифференциальное сечение полностью определяются значениями фаз Через фазы можно выразить также интегральное сечение рассеяния :

    (1.7.21)

Если для всех , то дифференциальное сечение рассеяния имеет вид

    (1.7.22)

где

    (1.7.23)

а полное сечение рассеяния определяется формулой

    (1.7.24)

Сравнение формул (1.7.23) и (1.7.24) показывает, что

    (1.7.25)

Это соотношение, связывающее интегральное сечение с амплитудой упругого рассеяния на нулевой угол, носит название оптической теоремы.