§ 4.2. Рассеяние фотона электроном

4.2.1. Матричный элемент рассеяния.

В предыдущем параграфе мы видели, что свободный электрон не может излучать и поглощать фотоны, т. е. что для свободного электрона невозможны процессы первого порядка. Поэтому простейшие процессы взаимодействия фотонов и свободных электронов описываются матрицей рассеяния второго порядка, которая, согласно (3.2.15), имеет следующий вид:

Так как матрица содержит оператор билинейно, то ее элементы описывают такие процессы, в которых общее число фотонных состояний равно либо двум, либо нулю. Последний случай относится к взаимодействию электронов без участия фотонов и будет рассмотрен в § 4.6.

Матричные элементы с участием двух фотонных состояний можно разделить на три типа соответственно общему числу электронов в начальном и конечном состояниях. Это число может равняться четырем, двум или нулю. Матричные элементы с четырьмя

электронными состояниями представляют собой просто произведения матричных элементов первого порядка (см. рис. 3.3, 1). Матричный элемент, не содержащий электронных состояний, определяет поляризационный оператор (рис. 3.3, 2, 4) и будет исследован в п. 5.1.2.

Наибольший физический интерес представляют матричные элементы с двумя электронными состояниями. Процессами, в которых участвуют два фотонных и два электронных состояния, являются тормозное излучение, рассеяние фотона электроном, образование и аннигиляция электронно-позитронных пар. Они описываются матрицей рассеяния второго порядка:

    (4.2.1)

где функция определяется формулами (2.5.30), (2.5.31).

Простейшим процессом, описываемым матрицей (4.2.1), является рассеяние фотона свободным электроном, к рассмотрению которого мы и перейдем.

Обозначим через волновые функции начального и конечного состояний электрона и через потенциалы начального и конечного фотонных состояний. Мы получим элемент матрицы соответствующий рассеянию фотона электроном, если заменим в (4.2.1) операторы функциями и а оператор — функцией

    (4.2.2)

Функции мы выберем в виде плоских волн, нормированных на единичный объем (см. (1.1.23), (2.1.7))

где — 4-импульсы электрона и фотона, — их энергии, биспинорная и -векторная амплитуды, удовлетворяющие условиям нормировки Подставив эти выражения и выражение (2.5.31) для в (4.2.2), получим

где . На рис. 4.1 изображены две диаграммы, соответствующие двум слагаемым в матричном элементе

Матричный элемент (4.2.3) отличен от нуля только При выполнении закона сохранения -импульса

    (4.2.4)

Этот закон позволяет при заданных импульсах определить четыре из шести составляющих импульсов конечного состояний; если, кроме того, задать направление или то можно полностью определить

Рис. 4.1.

Найдем зависимость частоты рассеянного фотона от направления его импульса. Возводя (4.2.4) в квадрат и замечая, что найдем откуда

    (4.2.5)

где — начальная скорость электрона, — его начальная энергия, - углы, образованные импульсами первичного и рассеянного фотонов с начальным импульсом электрона, — угол между . Для рассеяния фотона на покоящемся электроне мы получим отсюда известную формулу Комптона

    (4.2.6)

Величины и входящие в (4.2.3), представляют собой четырехмерные импульсы виртуальных электронов, для которых не выполняется обычное соотношение между энергией и импуль сом. Отличие виртуального электронного состояния от реального можно характеризовать величиной

обращающейся в нуль для реального состояния. Легко видеть, что

    (4.2.8)

В системе отсчета, в которой электрон до столкновения покоится, . В системе центра инерции сталкивающихся частиц

    (4.2.9)