3.4.4. Вероятность процессов рассеяния поляризованных частиц.

Покажем, как вычислять вероятности и сечения рассеяния частично поляризованных частиц. Начнем с рассмотрения электронов, причем будем сначала предполагать, что в начальном и конечном состояниях имеется только один электрон. В этом случае амплитуда рассеяния определяется, как мы видели, формулой

и вероятность процесса пропорциональна

Если начальное состояние поляризовано не полностью, а частично, то в формуле (3.4.17) следует произвести замену

где — матрица плотности электрона в начальном состоянии» определяемая формулой (1.1.40):

    (3.4.18)

— 4-вектор поляризации электрона в начальном состоянии.

Аналогичным образом можно рассмотреть также случаи, когда начальное и конечное состояния являются позитронными либо одно из состояний является электронным, а другое позитронным. Так, в первом из этих случаев соответствующие формулы имеют вид

    (3.4.19)

Используя (1.1.39), легко видеть, что вероятность обнаружить в конечном состоянии полностью поляризованный электрон (позитрон) с 4-вектором поляризации а будет линейной функцией а:

    (3.4.20)

(черта означает переход от волновых функций частиц в начальном состоянии к соответствующим матрицам плотности).

Поставим теперь вопрос, какова будет матрица плотности электрона (позитрона) в конечном состоянии. Ответ гласит, что матрица плотности определяется формулой (1.1.40), в которой 4-вектор поляризации имеет вид

    (3.4.21)

Действительно, перейдем в систему покоя электрона (позитрона). Тогда выражение (3.4.20) примет вид

    (3.4.22)

где — вектор поляризации, определяемый формулой (1.1.29). С другой стороны, вероятность того, что полностью поляризованная частица, описываемая двухкомпонентным спинором будет при измерении обнаружена в состоянии с вектором поляризации , равна

где — спинор, описывающий полностью поляризованную частицу с вектором поляризации . Если спинор не известен, а известна соответствующая матрица плотности

то

    (3.4.23)

Сравнивая (3.4.22) и (3.4.23), видим, что

    (3.4.24)

В произвольной системе отсчета соотношение (3.4.24) приобретает вид (3.4.21).

Отметим, что, согласно (3.4.23), проекция вектора поляризации g, на произвольное направление определяетвя вледующим образом:

где — полное число частиц, над которыми произведено измерение, — числа зарегистрированных при измерении полностью поляризованных частиц с векторами поляризации соответственно. Измеряя проекции вектора поляризации на три линейно-независимых вектора мы тем самым найдем вектор g. Выбирая, в частности, в качестве векторов единичные векторы вдоль осей , мы получим согласно (3.4.25)

Перейдем теперь к рассмотрению процессов рассеяния, в которых участвуют частично поляризованные фотоны. Пусть для простоты в начальном и конечном состояниях имеется только по одному фотону. Тогда амплитуда рассеяния будет иметь вид

где — векторы поляризаций фотонов в начальном и конечном состояниях и Q — некоторая матрица. Для нахождения вероятности процесса в случае частичной поляризации фотона в начальном состоянии нужно, вычислив

заменить элементом матрицы плотности фотона в начальном состоянии:

где — какие-либо из ортогональных ортов, введенных в п. 2.4.4.

Состояние поляризации фотона в конечном состоянии определяется следующим образом. Согласно (2.4.21) вероятность обнаружить в конечном состоянии полностью поляризованный фотон с параметрами Стокса пропорциональна

    (3.4.27)

где черта означает переход от волновых функций частиц в начальном состоянии к соответствующим матрицам плотности. Аналогично (3.4.24) вектор Стокса фотона в конечном состоянии определяется формулой

    (3.4.28)

Полученные результаты могут быть просто обобщены на тот случай, когда в начальном и конечном состояниях имеется произвольное число электронов, позитронов и фотонов.