Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 5.7. Дважды логарифмическая асимптотика сечений квантовоэлектродинамических процессов5.7.1. Дважды логарифмическая асимптотика вершинной функции.В предыдущих параграфах мы определили радиационные поправки к сечениям рассеяния различных процессов в наинизшем приближении теории возмущений. Общей особенностью этих поправок является то, что они становятся сравнимыми и могут даже превосходить сечение основного процесса в области больших энергий. Например, величина Мы видим, таким образом, что для получения правильных выражений для сечений различных процессов в области больших значений энергии и переданного импульса необходимо учитывать радиационные поправки к сечениям не только в наинизшем, но и во всех последующих порядках теории возмущений. Получающиеся бесконечные ряды (состоящие из регуляризоваиных слагаемых) мы не умеем суммировать и, строго говоря, вообще не знаем, сходятся ли они (см. в связи с этим п. 3.8.3). Но если считать, Что эти ряды являются асимптотическими рядами, описывающими соответствующие квантовоэлектродинамические величины, то в них могут быть выделены главные последовательности членов, которые могут быть просуммированы. Если рассматривать рассеяние ультрарелятивистского электрона во внешнем поле, то главным в Аналогичная ситуация имеет место и для других квантово-электродинамических процессов: всегда в области больших значений энергии и переданного импульса главным в каждом приближении теории возмущений оказывается член, в котором на каждый множитель а приходится произведение двух логарифмов от больших аргументов. Такие члены (мы будем называть их дважды логарифмическими) можно просуммировать и найти таким образом асимптотику сечений различных квантовоэлектродинамических процессов в области больших значений энергии и переданного импульса. Эту асимитотику называют обычно дважды логарифмической. Покажем, как производится выделение дважды логарифмических членов. Рассмотрим сначала простейшую задачу этого типа — выделение дважды логарифмических членов в радиационных поправках к вершинной функции
Начнем с радиационной поправки
которой соответствует диаграмма 1 рис. 5.18. (Мы пренебрегли всюду в соответствии с неравенствами Для нахождения асимптотики функции
Легко видеть, что 4-вектор
где Наконец, выразим в новых переменных множители, входящие в знаменатель подынтегрального выражения для
Величины
Рис. 5.18. Так как
легко убедиться, что числитель подынтегрального выражения (5.7.2) можно заменить на
Точные значения пределов здесь несущественны, и мы можем их взять равными —1 и +1 при интегрировании по Выполним сначала интегрирование по
имеем
Подставляя далее это выражение в (6.7.6) и опуская член с логарифмом, получим
Таким образом, мы видим, что при Прежде чем переходить к вычислению следующих радиационных поправок к вершинной функции, убедимся, что если
В этом случае, в отличие от случая (6.7.1), в знаменатель подынтегрального выражения (5.7.2) будет входить 4-вектор
где
В этом выражении, в отличие от выражения для Легко убедиться, что регуляризованное значение
Это выражение содержит, как мы видим, только однологарифмические члены.
Рис. 5.19. Таким образом, действительно, вершинная функция при Вернемся теперь к определению следующих радиационных поправок к вершинной функции в случае (5.7.1). Выясним прежде всего, какие диаграммы приводят к дважды логарифмическим членам. Легко видеть, что замкнутые электронные линии не приводят к дважды логарифмическим членам: для таких диаграмм степени больших логарифмов оказываются всегда меньшими, чем степень квадрата заряда. Рассмотрим, например, диаграмму
откуда с логарифмической точностью
Поэтому всей диаграмме I в целом будет соответствовать величина
Переходя к переменным
где Таким образом, мы должны рассматривать только диаграммы с внутренними фотонными линиями. Однако и они не все будут приводить к дважды логарифмическим членам. Легко видеть, что только те из диаграмм, в которых все линии виртуальных фотонов охватывают точку испускания внешнего фотона, приводят к дважды логарифмическим членам. Рассмотрим, например, диаграммы 2 и 3 на рис. 5.19. Используя вытекающую из (5.1.12) формулу для массового оператора
справедливую при
справедливую при
Поступая так же, как и при выводе формулы (5.7.13), получим
Эти величины, как мы видим, не содержат дважды логарифмических членов. Перейдем теперь к рассмотрению диаграмм, содержащих только внутренние фотонные линии, охватывающие точку испускания внешнего фотона. В
где обозначает суммирование по всем перестановкам Предполагая выполненными условия (5.7.1), можно в числителе подынтегрального выражения (5.7.15) пренебречь величинами
Для вычисления этого интеграла перейдем вместо
Вспоминая, что при интегрировании по
Главный вклад во входящие сюда интегралы вносит область интегрирования
Каждый из интегралов равен, как легко видеть,
Поэтому для
Обратим внимание на то обстоятельство, что все диаграммы, отличающиеся лишь перестановкой концов виртуальных фотонных линий, вносят одинаковый вклад в и случае
Эта важная формула [29] справедлива при выполнении следующих условий:
где
|
1 |
Оглавление
|