5.6.3. Радиационные поправки к функции Лагранжа электромагнитного поля в вакууме.
Малым частотам соответствуют медленно изменяющиеся поля, состояние которых можно описывать функцией Лагранжа, зависящей только от компонент поля и не зависящей от их производных по координатам и времени.
Рис. 5.16.
Так как лагранжиан должен быть релятивистским инвариантом, то поля могут входить в функцию Лагранжа только в виде двух комбинаций 
, являющихся единственными независимыми инвариантами поля Если поля являются достаточно слабыми, то лагранжиан поля L можно разложить в ряд по степеням 
и ограничиться в разложении членами второго и четвертого порядков:
где а, b — некоторые константы и F — тензор электромагнитного поля. Члены, объединенные в U, представляют собой радиационную поправку к основной плотности функции Лагранжа 
Лагранжиан V можно связать с сечением рассеяния фотона фотоном. Действительно, матрица рассеяния 
порядка 
связана с лагранжианом взаимодействия полей 
соотношением
Поэтому если мы хотим описывать взаимодействие фотона с фотонами с помощью некоторого лагранжиана L, то он должен быть по определению связан с матрицей рассеяния 
порядка 
соотношением
или
(5.6.11)
Подчеркнем, что такое рассмотрение законно только для медленно изменяющихся полей:
(5.6.12)
Подставляя в (5.6.11)
получим
(5.6.13)
где 
— некоторые симметризованные тензоры, содержащие слагаемые вида 
и их свертки по греческим индексам (мы не будем выписывать их здесь в явном виде). Сравнивая эту формулу с формулой (5.6.3) для 
можно связать тензор рассеяния фотона фотоном с тензорами 
Подставив это выражение в (5.6.5), получим сечение рассеяния фотона фотоном в системе их центра инерции
(индекс 
; служит для обозначения двух различных поляризаций фотона 
).
Можно показать, что
(5.6.15)
где 
— единичные векторы в направлении k и 
и 
— угол рассеяния, 
Подставляя это выражение в (5.6.14) и усредняя по поляризациям фотонов, получим
(5.6.16)
Мы видим, что частотная и угловая зависимости сечения рассеяния фотона фотоном при 
не связаны с конкретными значениями констант а и b, и только величина сечения определяется этими константами.
Приведем значения М для различных поляризаций фотонов. Будем обозначать через 
поляризацию фотона 
лежащую в плоскости рассеяния 
, и через 
поляризацию, перпендикулярную к плоскости 
. Тогда согласно (5.6.15)
(5.6.17)
Из этих формул следует, что, вычислив непосредственно величину М для двух состояний поляризации фотонов (например, 
) 
при фиксированном угле рассеяния (например, при 
можно найти константы а и 
Мы приведем только окончательный результат:
Подставив эти значения а и b в (5.6.16), найдем дифференциальное сечение рассеяния фотона фотоном при
Проинтегрировав 
получим формулу (5.6.8).
Наконец, подставив (5.6.18) в (5.6.10), найдем радиационные поправки к лагранжиану электромагнитного поля
Зная лагранжиан, можно найти плотность электромагнитной энергии в вакууме
(5.6.21)
где
Эта величина представляет собой радиационную поправку к классической плотности энергии 
.
Нелинейные электродинамические эффекты можно описывать с помощью зависящих от полей диэлектрической и магнитной проницаемостей вакуума. Чтобы найти эти величины, определим электрическую и магнитную индукции D и В:
Используя (5.6.20), получим
В макроскопической электродинамике 
связаны с Е и Н соотношениями
Сравнение этих формул с (5.6.22) показывает, что тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей вакуума для слабых и медленно меняющихся полей равны
(5.6.23)
Эти формулы показывают, что вакуум при наличии магнитного поля становится анизотропным.
Формула для радиационной поправки к лагранжиану L может быть использована для установления модификации закона Кулона на больших расстояниях от заряда. В случае чисто электрического поля лагранжиан имеет вид
Полагая здесь 
получим из вариационного принципа
следующее уравнение для определения потенциала точечного заряда 
Предполагая, что решение мало отличается от 
мы придем к решению
о котором говорилось в п. 5.2.1.
