5.7.3. Дважды логарифмическая асимптотика сечения процесса ...

Развитая в п. 5.7.1 методика выделения дважды логарифмических членов в радиационных поправках к вершинной функции, может быть применена также для нахождения дважды логарифмической асимптотики сечений и других квантовоэлектродинамических процессов [29]. Мы не будем приводить подробные вычисления, отметим лишь, что основными процессами, которые необходимо учитывать, являются взаимодействие электронов (и других заряженных частиц) с виртуальными мягкими фотонами и излучение частицами мягких фотонов. При этом вклады, вносимые диаграммами с различным образом расположенными внутренними фотонными линиями (при одинаковом общем их числе), могут быть

различными, в отличие от случая рассеяния электрона во внеш. нем поле, когда все эти вклады одинаковы. Важным оказывается также характер излучения реальных мягких фотонов. Если ограничиться рассмотрением (что далее и делается) процессов с участием не более двух заряженных частиц как в начальном, так и в конечном состояниях, то дважды логарифмическая асимптотика сечений оказывается существенно зависящей от значений величин

где — 4-импульсы заряженных частиц в начальном состоянии, — аналогичные величины в конечном состоянии, k — 4-импульс мягкого фотона и

Покажем, например, что дважды логарифмическая асимптотика сечения процесса превращения злектронно-позитронной пары в мюонную пару при малом переданном импульсе, — -импульсы электрона и позитрона, — -импульсы мюонов), определяется только диаграммами лестничного типа. Рассмотрим с этой целью простейшие нелестничные диаграммы порядка (рис. 5.20) и убедимся, что они не вносят вклада в сечение процесса в дважды логарифмическом приближении.

Рис. 5.20.

Диаграмме 1 рис. 5.20 соответствует величина

где — дираковские матрицы, действующие на электронно-позитронные биспиноры — аналогичные матрицы, действующие на мюонные биспиноры

формуле (5.7.31) опущены биспиноры и учтено, что

Для дважды логарифмической асимптотики существенны малые -импульсы виртуальных фотонов; поэтому мы должны в интеграле (5.7.31) рассмотреть две области интегрирования: область малых k и область малых Вкладе интеграл (5.7.31) от первой из этих областей равен

а так как (мы учли, что , то

    (5.7.32)

(Q означает область малых k). Аналогичной формулой определяется вклад в интеграл (5.7.31), вносимый областью

Рис. 5.21.

Рассмотрим теперь диаграмму 2 рис. 5.20. Ей соответствует величина

которая при малых k приобретает вид

    (5.7.34)

Мы видим, что только знаком отличается от Легко убедиться, что аналогичное соотношение имеет место для и величины соответствующей диаграмме в рис. 5.20,

Таким образом, как и утверждалось, суммарный вклад от трех нелестничных диаграмм порядка в сечение процесса в дважды логарифмическом приближении обращается в нуль. Такая же ситуация имеет место и в более высоких приближениях теории возмущений.

Перейдем к рассмотрению диаграмм лестничного типа, описывающих процесс при Основной диаграмме порядка (рис. 5.21) соответствует величина

или сокращенно

    (6.7.35)

В с. ц. и. электрона и позитрона мы можем, очевидно, заменить на (ось 3 направлена вдоль ), а так как то слагаемые в содержащие и будут в раз меньше слагаемых, содержащих и могут быть, следовательно, при опущены:

    (5.7.36)

Найдем теперь вклад, вносимый в амплитуду процесса лестничной диаграммой порядка (диаграмма 1 на рис. 5.22).

Рис. 5.22.

Введем вместо новые переменные интегрирования и,

Тогда, поступая так же, как и в § 5.6, легко убедиться, что интересующая нас дважды логарифмическая асимптотика определяется областью интегрирования . В этом случае диаграмме 1 рис. 5.22 соответствует величина

(члены, содержащие в числителе, не приводят к дважды логарифмической асимптотике). Учитывая, что усреднение по углу в плоскости дает

можно переписать в виде

    (5.7.38)

Вспоминая далее, что в системе центра инерции матрицы , приводят к слагаемым порядка можно пользоваться соотношением

Таким образом, приобретает вид

    (5.7.39)

(область малых не дает дважды логарифмических членов, поэтому под знак интеграла введена функция ). Считая пределы интегрирования по равными , получим

    (5.7.40)

где определяется формулой (5.7.36).

Аналогичным образом может быть определен дважды логарифмический вклад, вносимый лестничной диаграммой порядка (диаграмма 2 на рис. 5.22). Он определяется формулой

в которой следует считать . При этом приобретает вид

Наконец, вклад, вносимый лестничной диаграммой порядка в амплитуду процесса дважды логарифмическом приближении определяется формулой

Суммируя величины найдем амплитуду процесса в дважды логарифмическом приближении при

    (5.7.41)

где — функция Бесселя мнимого аргумента,

Отсюда легко найти дифференциальное сечение рассматриваемого процесса

где — дифференциальное сечение процесса в борновском приближении.