§ 2.4. Корреляционные функции электромагнитного поля

2.4.1. Интерференция света.

Развив квантовую механику фотона, мы покажем теперь, как в этой теории описываются интерференционные явления.

Как известно, резкая интерференционная картина в интерференционных опытах возникает только при строго определенной разности фаз интерферирующих световых пучков. Поэтому прежде всего нужно разъяснить, в каком соотношении находятся фаза волны и число фотонов в ней. Введем с этой целью вместо новые операторы

    (2.4.1)

Так как то представляет собой оператор числа фотонов, а величины могут быть названы фазовыми операторами. (Заметим, что . Это связано с тем, что фазовые операторы не могут быть представлены в виде экспонент от некоторого оператора — оператора фазы, так как такого оператора не существует [11].)

Найдем перестановочное соотношение между фазовым оператором и оператором числа частиц 91. Подставив (2.4.1) в (2.3.2), получим

или

где С и S — операторы косинуса и синуса фазы,

Мы видим, что операторы, соответствующие числу фотонов, и операторы косинуса и синуса фазы, не коммутируют между собой, поэтому неопределенности в этих величинах связаны между собой соотношениями

Это значит, что электромагнитная волна не может характеризоваться одновременно определенным числом фотонов и определенной фазой.

Как же в таком случае может возникать резкая интерференцнонная картина в интерференционных опытах? Ответ состоит в том, что мы имеем дело в этих опытах не с одной, а с двумя волнами, разность фаз между которыми может быть строго задана, числа же фотонов в каждой из волн будут при этом не определенными, хотя суммарное число фотонов в обеих волнах также может быть строго задано.

В опыте Юнга, например, фотоны из источника (рис. 2.4) проходят через два отверстия и, пройдя расстояния

попадают в точку Р, где регистрируются счетчиком фотонов. Перемещая счетчик фотонов вдоль экрана 2, можно наблюдать возникающие на нем интерференционные полосы. Но чтобы возникала интерференционная картина, необходимо, чтобы не производилось опыта, определяющего, по какому пути — 1 или 2 — двигается фотон. Всякая попытка определить, по какому из двух путей прошел фотон, уничтожит интерференционную картину. Действительно, в этом случае будет точно выполняться равенство и, следовательно, фаза волны не будет строго определенной.

Рис. 2.4.

Регистрирующее устройство в точке — счетчик фотонов — поглощает фотоны из поля световой волны. Если поле характеризуется определенным вектором состояния , то в идеальном случае счетчик фотонов реагирует только на электрическое поле в точке , а точнее, — на положительно-частотную часть оператора Е, так как вероятность поглощения фотона в точке в момент времени t пропорциональна

где — конечный вектор состояния поля. Полная вероятность (отнесенная к единице времени) w получается из этого выражения путем суммирования по

    (2.4.2)

где - отрицательно-частотная часть оператора поля Е.

Эта формула справедлива в том случае, когда поле находится в чистом состоянии, характеризуемом определенным вектором состояния. Если же поле находится не в чистом состоянии, а в состоянии смеси, то выражение (2.4.2) должно быть умножено на , где — вероятность нахождения поля в состоянии и просуммировано по Вводя матрицу плотности поля

мы получим в результате

    (2.4.3)

Этой величине пропорциональна скорость счета идеального счетчика фотонов в точке в момент времени t. Ее можно записать также в виде

    (2.4.4)

где . Величина носит название корреляционной функции поля (точнее — корреляционной функции первого порядка).

Возвращаясь к опыту Юнга, можно утверждать, что поле в точке Р будет запаздывающей линейной комбинацией полей в отверстиях . В случае малых и одинаковых отверстий где и С — константа. Поэтому скорость счета счетчика фотонов в точке Р будет пропорциональна

или

где (у функции опущены поляризационные индексы). Вводя фазу корреляционной функции

получим

Эта формула показывает, что интерференционная картина обусловливается третьим — осциллирующим — членом, т. е. фазой корреляционной функции.

Интерференционная картина будет наиболее резкой в том случае, когда корреляционная функция факторизуется, т. е. имеет вид

где — некоторая комплексная функция . В этом случая говорят, что поля в точках когерентны. При этом принимает вид