5.4.3. Устранение инфракрасной расходимости в случае произвольного процесса рассеяния.

Мы видели выше, что радиационные поправки к сечению рассеяния электрона во внешнем поле содержат «массу» фотона. Проследим, как формально возникает в матричных элементах инфракрасная расходимость. До регуляризации ни электронная собственно энергетическая функция, ни вершинная функция (с внутренними электронными линиями) не содержат расходящихся величин в области малых частот виртуальных фотонов, вершинная же и собственно энергетическая электронная функции в случае свободных электронных линий содержат такие величины.

При регуляризации внутренней вершинной функции мы отнимаем от нее величину соответствующую свободным электронным линиям. Эта величина содержит интеграл, который расходится в области малых импульсов виртуальных фотонов. Чтобы обеспечить сходимость интеграла, мы вводим отличную от нуля «массу» фотона X, которая таким образом появляется в регуляризованной вершинной функции.

Аналогичным образом возникает I и в выражении для регуляризованной электронной собственно энергетической функции. По этой причине «масса» фотона начинает входить в радиационные поправки к сечениям самых различных процессов рассеяния.

Мы покажем теперь, обобщая результат, полученный для радиационных поправок к сечению рассеяния электрона в кулоновском поле ядра, что если для любого сколь угодно сложного процесса рассеяния, являющегося эффектом порядка теории возмущений, наряду с радиационными поправками к нему, соответствующими порядку теории возмущений, рассматривать также излучение реального мягкого фотона, то суммарное сечение рассеяния, учитывающее как радиационные поправки, так и дополнительное излучение мягкого фотона, не будет содержать «массу» фотона.

Так как инфракрасная расходимость возникает при интегрировании в области малых импульсов виртуальных и реальных

фотонов, а «Мягкость» и «жесткость» фотона не являются, вообще говоря, инвариантными понятиями, то мы будем пользоваться определенной системой отсчета, а именно системой, в которой потеря энергии каждой заряженной частицей, обусловленная испусканием «мягких» фотонов, не превосходит некоторой величины s, малой по сравнению с энергиями всех заряженных частиц, участвующих в процессе.

Пользуясь этой системой отсчета, мы выделим в пространстве 4-импульсов фотона k область , в которой , где е — некоторая малая величина (она может быть выбрана, например, таким образом, чтобы выполнялось неравенство ), и будем называть мягкими те фотоны, -импульсы которых лежат в остальные фотоны будем называть жесткими.

Рис. 5.5.

Будем для простоты предполагать, что в процессе рассеяния участвует только один электрон. Матричный элемент такого процесса можно записать в виде где — 4-импульсы электрона до и после рассеяния, и — соответствующие им биспинорные амплитуды и — некоторая матрица.

Рассмотрим радиационные поправки наинизшего порядка к сечению этого процесса рассеяния, связанные с испусканием и последующим поглощением виртуального фотона и приводящие к инфракрасной расходимости. Пусть, например, основным процессом является тормозное излучение электрона (диаграмма Q на рис. 5.5). Тогда радиационным поправкам к этому процессу, приводящим к инфракрасной расходимости, будут соответствовать диаграммы , изображенные на рис. 5.5. Покажем прежде всего, что во вкладах, вносимых в радиационные поправки, члены, содержащие к и происходящие от равного числа собственно энергетических электронных диаграмм и вершинных диаграмм, взаимно сокращаются. Возьмем, например, вершину А (рис. 5.5).

Матрице в основном процессе Q соответствует следующий вклад от диаграмм радиационных поправок ИР и

где Левая часть этого равенства не содержит инфракрасной расходимости, которая появляется в константах . Но, согласно (5.1.36), эти константы равны и, следовательно, члены, содержащие их, сокращаются. По этой причине регуляризованное значение написанного выражения не будет, как и утверждалось, содержать инфракрасной расходимости.

Если основная диаграмма Q содержит внутренних электронных линий, то в диаграммах радиационных поправок типов W и V будет внутренних ЭСЭД и внутренних ВД. От этих диаграмм останется одна нескомпенсированная «масса» фотона к, соответствующая одной ЗСЭД. Учитывая наличие двух свободных электронных линий, с которыми связаны две ВД, мы окончательно получим от всех диаграмм W и V одну «нескомпенсированную» Я от одной ВД. Согласно (5.1.36) величина к входит в вершинную функцию в виде Считая мы можем поэтому написать следующее выражение для главной относительно части матричного элемента, соответствующего диаграммам типов W и V:

    (5.4.13)

Этот результат можно сформулировать и иначе, сказав, что с каждой свободной электронной линиейсвязана инфракрасная расходимость, причем вклад от каждой из этих лннрй в матричный элемент, соответствующий диаграммам тинов w и V, равен

Рассмотрим теперь последнюю диаграмму радиационный поправок У. Соответствующий ей матричный элемент при малых k имеет вид

Легко показать, что к входит в в виде слагаемого

( — скорость электрона после рассеяния ).

В суммарный матричный элемент радиационных поправок «масса» фотона будет входить в виде а в сечение рассеяния с учетом радиационных поправок — в виде

Поэтому сечение рассеяния с учетом радиационных поправок будет содержать к в виде слагаемого

    (5.4.14)

— сечение основного процесса).

Рис. 5.6.

Рассмотрим теперь наряду с радиационными поправками излучение реального мягкого фотона с импульсом k и поляризацией е. Диаграммы, изображающие излучение фотона к, представлены на рис. 5.6. Матричный элемент, соответствующий этим диаграммам, равен

    (5.4.15)

Сечение рассеяния с излучением мягкого фотона с энергией, не превосходящей , будет, очевидно,

    (5.4.16)

Считая, так же как и выше, что , получим согласно § 4.2:

Формула (5.4.16) показывает, что сечение рассеяния с излучением мягкого фотона представляет собой произведение сечения гроцесса без излучения фотона на вероятность излучения мягкого фотона. Такая факторизация является характерной чертой сечений рассеяния с излучением произвольного числа мягких фотонов.

Найдем, наконец, суммарное сечение рассеяния, учитывающее как радиационные поправки, так и излучение мягкого фотона: .

Часть содержащая , имеет вид

Но эта величина, согласно (5.4.14) и (5.4.17), не содержит массе фотона, поэтому X, как и утверждалось, не входит в суммарное сечение рассеяния [15].

Мы показали, как устраняется инфракрасная расходимость в случае произвольного процесса рассеяния в наинизшем приближении теории возмущений. Но полученные результаты могут быть обобщены на все порядки теории возмущений.

Рис. 5.7.

Пусть в некотором процессе участвует несколько реальных электронов и позитронов, но не участвуют мягкие фотоны (соответствующая диаграмма изображена на рис. 5.7, l, заштрихованный блок изображает процесс, в котором не участвуют мягкие фотоны). Рассмотрим наряду с этим процессом процессы, в которых участвуют мягкие фотоны. Соответствующие фотонные линии (мы будем изображать мягкие фотоны волнистой линией) могут располагаться либо внутри заштрихованного блока, либо иметь внешние по отношению к этому блоку концы. Тогда, используя полученные выше результаты, можно утверждать, что к инфракрасной расходимости будут приводить только те диаграммы, в которых волнистые фотонные линии связаны со свободными электронными линиями: для виртуальных мягких фотонов это будут диаграммы типов 2 и 3, изображенные на рис. 5.7, а для реальных мягких фотонов — диаграммы типа 4 рис. 5.7 (диаграмма типа 2 эквивалентна диаграммам типа V на рис. 5.5); диаграммы иных типов, например, диаграммы 5 и 6, не приводят к инфракрасной

красной расходимости. Мы не будем приводить здесь вычисления соответствующих матричных элементов и приведем только окончательные результаты [15].

Рассмотрим сначала некоторый процесс, в котором участвуют два свободных электрона. Тогда матричный элемент, соответствующий этому процессу с учетом всех радиационных поправок к нему, будет иметь следующую структуру:

    (5.4.18)

где

— 4-импульсы электронов и — некоторая величина, не содержащая инфракрасной расходимости, т. е. остающаяся конечной при Величина, стоящая в скобках под знаком интеграла В, представляет собой, с точностью до множителя - ток «перехода»

удовлетворяющий уравнению непрерывности

Если наряду с радиационными поправками учитывать также излучение электронами реальных «мягких» фотонов, то суммарное сечение основного процесса вместе с радиационными поправками и излучением «мягких» фотонов будет иметь вид

    (5.4.19)

где

— максимальная энергия фотонов и — величина, пропорциональная и не содержащая инфракрасной расходимости. Легко видеть, что остается конечным при . Считая, что получим

Эти формулы могут быть обобщены на тот случай, когда в процессе участвуют не два, а произвольное число электронов, а также позитронов и других заряженных частиц. В этом случае величины В и В имеют следующий вид:

    (5.4.21)

где для частицы в конечном состоянии, для частицы в начальном состоянии и да — заряд частицы.

Подчеркнем то обстоятельство, что устранение инфракрасных расходимостей было проведено здесь в выражениях для сечений, амплитуды же рассеяния оставались расходящимися. Это связано с тем, что мы рассматривали переходы между состояниями с определенным числом фотонов. Но такие состояния физически нереализуемы. Как мы видели (см. § 4.4), реально мы имеем дело с когерентными состояниями длинноволнового поля излучения, никак не характеризующегося числом фотонов. Можно показать, что, рассматривая переходы между такими реальными состояниями, мы получим амплитуды рассеяния, свободные от инфракрасных расходимостей [16].

Рис. 5.8