§ 2.5. Квантование электронно-позитронного поля

2.5.1. Условия квантования.

В главе 1 мы рассматривали уравнение Дирака как квантовомеханическое уравнение движения отдельной частицы. Но его можно рассматривать также и как уравнение поля, которое называется электронно-позитронным (или просто электронным). В этом смысле уравнение Дирака аналогично уравнениям Максвелла для электромагнитного поля.

Электронное поле характеризуется биспинорами которые подобно потенциалам в теории квантованного электромагнитного поля следует считать операторами, действующими на вектор состояния системы в пространстве чисел частиц и удовлетворяющими определенным перестановочным соотношениям.

Чтобы установить эти соотношения, которые носят название условий квантования электронно-позитронного поля, введем в рассмотрение совокупность стационарных решений уравнений Дирака для электрона в произвольном, но достаточно слабом постоянном внешнем электромагнитном поле, . В этом случае возможно разделение решений на решения с положительными и отрицательными частотами, причем первым соответствуют электронные, а вторым — позитронные состояния. Функции образуют

ортонормированную систему функций и поэтому произвольное решение уравнений Дирака в рассматриваемом поле может быть представлено в виде суперпозиции

где — некоторые постоянные. Эти величины мы будем теперь, так же как и величины в разложении электромагнитных потенциалов (2.3.1), считать не обычными числами, а операторами, действующими в пространстве чисел частиц — электронов и позитронов.

Чтобы установить свойства этих операторов, определим энергию Н и заряд Q электронно-позитронного поля, которые определяются формулами

    (2.5.2)

Подставляя сюда разложения (2.5.1) и используя условие ортонормированности функций получим

    (2.5.3)

где .

Первые слагаемые здесь связаны с электронными состояниями. Эти слагаемые должны, очевидно, представлять собой суммарные энергию и заряд системы электронов. Поэтому величину мы должны интерпретировать как оператор числа электронов в квантовомеханическом состоянии s. Этот оператор мы обозначим через

Согласно принципу Паули, его собственные значения не должны превышать единицы:

Поэтому операторы должны удовлетворять таким перестановочным условиям, которые приводили бы только к этим двум собственным значениям . Мы примем, что и являются эрмитово-сопряженными операторамй, удовлетворяющими перестановочным соотношениям:

    (2.5.4)

где . (Эта величина называется антикоммутатором операторов А и В.) Ясно, что условия квантования (2.5.4) приводят к принципу Паули. Действительно, замечая, что

и что, согласно (2.5.4), , получим , откуда и следует, что собственные значения оператора равны 0 и 1.

Рассмотрим теперь вторые слагаемые, связанные с решениями с отрицательными частотами. Эти слагаемые должны определять энергию и заряд позитронов. Чтобы такая интерпретация была возможной, мы примем, что и являются эрмитово-сопряженными операторами, удовлетворяющими тем же перестановочным соотношениям, что и

    (2.5.5)

а также соотношениям

    (2.5.6)

и будем считать, что число позитронов в состоянии s есть собственное значение оператора

Ясно, что собственные значения оператора в силу перестановочных условий (2.5.5), так же как и оператора равны 0, 1.

Используя определение оператора и условия квантования (2.5.4), (2.5.5), можно переписать выражения (2.5.3) для суммарных энергии и заряда электронно-позитронного поля в виде

где

Мы видим, что условия квантования (2.5.4) и (2.5.5) приводят к правильной корпускулярной картине электронного поля: как и должно быть, каждое занятое электронное состояние вносит в суммарную энергию поля вклад и в суммарный заряд — вклад , а каждое занятое позитронное состояние вносит в эти величины соответственно вклады и .

Константы представляют собой энергию и заряд в состоянии вакуума, т. е. в состоянии поля с минимальной энергией Они лишены физического смысла и могут быть, как мы сейчас покажем, устранены простым изменением в определениях операторов энергии и заряда электронного поля. Дело в том, что использованное нами определение вектора плотности тока базировалось на том, что это — единственная квадратичная

форма, Построенная из компонент биспиноров представляющая собой вектор и удовлетворяющая уравнению непрерывности. Другая возможная форма отличается только порядком множителей и совпадает с первой, если рассматриваются как обычные числа. Ситуация, однако, существенно меняется, если считаются не обычными числами, а операторами. В этом случае обе формы различаются, и возникает следующая возможность определения оператора плотности электрического тока:

Этот вектор по-прежнему удовлетворяет уравнению непрерывности и приводит, как легко проверить, к полному заряду

Мы видим, что теперь заряд вакуума равен нулю, Поэтому в дальнейшем мы будем пользоваться именно этим определением оператора плотности тока, которое может быть сокращенно записано в виде

где — коммутатор операторов А и В.

Вводя зарядово-сопряженные операторы поля

можно оператор плотности тока представить в виде

Это выражение остается неизменным, если заменить операторы зарядово-сопряженными операторами и изменить при: этом знак заряда .

Кроме оператора плотности тока, можно формально переопределить оператор энергии поля, понимая под произведением операторов полей в формуле (2.5.2) так называемое нормальное произведение (см. п. 2.5.4). При этом в формуле для Е величина заменится на и исчезнет константа .

Итак, после переопределения операторов плотности тока и энергии электронного поля энергия и заряд поля становятся равными.

в полном соответствии с корпускулярной картиной поля.