4.2.6. Дисперсионная формула.

Изучив рассеяние фотонов свободными электронами, мы перейдем к изучению рассеяния фотонов связанными электронами. Для определения сечения рассеяния в этом случае можно по-прежнему пользоваться частью матрицы рассеяния определяемой общей формулой но теперь взамен функции в выражение должна входить функция Грина уравнения Дирака для электрона во внешнем поле,

Функция определяется в соответствии с (2.5.25), (2.5.18) следующим образом:

где

— решения уравнений Дирака с положительными и отрицательными частотами во внешнем поле. Замечая, что

представим в виде

Из этой формулы и из уравнения Дирака следует, что удовлетворяет уравнению

а так как удовлетворяет уравнению то функция удовлетворяет интегральному уравнению

    (4.2.36)

Рассмотрим рассеяние фотона с частотой а, волновым вектором и поляризацией электроном, находящимся в состоянии . В результате рассеяния возникает фотон с частотой волновым вектором поляризацией а электрон переходит в состояние Частота рассеянного фотона может при этом либо совпадать с частотой первичного фотона либо отличаться от нее (в последнем случае говорят о комбинационном рассеянии). Матричный элемент рассеяния фотона электроном определяется формулой

    (4.2.37)

Подставив в (4.2.37) выражение (4.2.35) для и выполнив интегрирование по получим

    (4.2.38)

где

и суммирование производится по всем состояниям s, соответствующим как положительным, так и отрицательным частотам.

Важнейшим применением этой формулы является рассеяние фотона атомной системой. Рассмотрим нерелятивистский случай,

когда энергии фотонов малы по сравнению с энергией покоя электрона и значения энергии электрона в начальном и конечном состояниях и мало отличаются от . Кроме того, будем предполагать, что в сумме (4.2.38) играют существенную роль только такие состояния s («промежуточные» состояния), энергии которых также являются нерелятивистскими, т. е. . Эти предположения позволяют значительно упростить ту часть суммы (4.2.38), которая относится к отрицательным частотам. Прежде всего, в каждом члене этой части суммы, которую мы будем обозначать через можно заменить выражение, стоящее в знаменателе, на после чего можно преобразовать в сумму по всем состояниям, включающим не только отрицательные, но и положительные частоты. Для этого следует сделать в выражении матричного элемента ) замену

где Н — гамильтониан электрона. В интересующем нас приближении Поэтому

где сумма распространяется на оба знака частоты. Воспользовавшись правилом умножения матриц, можно переписать это выражение в виде

Замечая, наконец, что, выбрав можно заменить на и что в нашем приближении получим окончательно

    (4.2.39)

Рассмотрим теперь часть суммы (4.2.38), относящуюся к положительным частотам. В нерелятивистском приближении в числителях дробей, входящих в эту часть U, можно заменить на где — спиновый магнитный

момент электрона. Сделав эту замену и воспользовавшись формулой (4.2.39) для получим следующее выражение для

    (4.2.40)

где (матричные элементы в этом выражении вычисляются с нерелятивистскими волновыми функциями).

Если длина волны рассеиваемого фотона велика по сравнению с размерами атома, то можно считать постоянными, так как — радиус-вектор центра атома). В этом случае формула (4.2.40) принимает вид

Последний член здесь отличается от нуля только для когерентного рассеяния, когда .

Эту формулу, определяющую закон дисперсии, т. е. зависимость рассеивающей способности атома от частоты света, можно представить в несколько ином виде, а именно так, чтобы в нее вместо матричных элементов импульса входили матричные элементы дипольного момента атома. Для этого нужно воспользоваться соотношением

а также условиями коммутации между операторами импульса и координаты, из которых следует:

Прибавляя далее в фигурной скобке в (4.2.41) равное нулю слагаемое

получим окончательно [8]

Дифференциальное сечение рассеяния связано с U соотношением

Устраняя -функцию интегрированием по , найдем

где Q — дипольный момент атома.

Если рассеивающая система содержит не один, а несколько электронов, то под Q следует понимать суммарный дипольный момент системы. Формула (4.2.42) справедлива, если длина волны фотона велика по сравнению с размерами атома .

В дисперсионную формулу (4.2.42) входит сумма по всем возбужденным состояниям атома. Если частота фотона равна разности энергий одного из возбужденных состояний и основного состояния атома, т. е. , то сечение рассеяния обращается в бесконечность, что указывает на неприменимость полученной формулы при . Этот случай называется резонансом.

Мы не будем развивать здесь строгую теорию резонанса, а ограничимся лишь разъяснением физической причины неприменимости формулы (4.2.42) вблизи резонанса и укажем приближенный метод рассмотрения явления резонанса. (Последовательное рассмотрение резонансного рассеяния, использующее общую теорию радиационных поправок, будет дано в п. 5.3.4.)

Причина неприменимости формулы (4.2.42) вблизи резонанса заключается в том, что мы рассматривали как волновые функции стационарных состояний, содержащих время в виде . Между тем возбужденные состояния являются лишь приближенно стационарными, так как благодаря взаимодействию с электромагнитным полем существует конечная вероятность перехода атома в основное состояние (эта вероятность была определена в § 4.1).

Приближение стационарные состояния можно описывать как состояния с комплексной энергией, волновые функции которых содержат время в виде

где — вещественная положительная величина. Вероятность нахождения атома в возбужденном состоянии, пропорциональная убывает при этом по закону Это показывает, что , где — вероятность излучения, определяемая формулами (4.1.10), (4.1.13).

При частотах, близких к резонансной, можио в формуле (4.2.42) отбросить все слагаемые, кроме резонансного, и заменить в нем

на . Таким образом, мы получим следующее выражение для амплитуды рассеяния [8 — 10]:

где сумма распространяется на все состояния с энергией s. Соответственно дифференциальное сечение рассеяния будет

    (4.2.44)

Чтобы найти полное сечение рассеяния, нужно проинтегрировать выражение (4.2.44) по углам, усреднить по поляризациям падающего фотона и проекциям момента начального состояния и просуммировать по поляризациям рассеянного фотона и проекциям момента конечного состояния. Такое сечение определяется, помимо только шириной уровня s и значениями моментов. В случае рассеяния без изменения частоты полное сечение равно

где - моменты системы в состояниях s и . Эта формула сохраняет свой вид и в том случае, когда состояние s произвольным образом отличается от состояния 1 по моменту и четности. При этом под следует понимать вероятность излучения соответствующего мультиполя.