§ 1.7. Рассеяние электронов

1.7.1. Расходящиеся и сходящиеся волны.

До сих пор мы рассматривали только такие состояния электрона в центральном поле, которым соответствуют определенные значения энергии, момента и четности. В случае инфинитного движения больший интерес представляют, однако, состояния, в которых электрон вдали от силового центра имеет определенный импульс и определенную поляризацию. Мы перейдем теперь к рассмотрению таких состояний.

Если электрон, движущийся в некотором центральном поле, обладает определенной энергией то его волновая функция может быть, очевидно, представлена в виде суперпозиции волновых функций описывающих состояния электрона (в данном поле) с определенными энергией, моментом и четн остью,

где — некоторые коэффициенты. Мы хотим, чтобы волновая функция описывала состояние электрона, имеющего на бесконечности определенный импульс и определенную поляризацию, и, кроме того, чтобы обладала определенной асимптотикой при Особенно важны два случая: когда функция при имеет вид либо суперпозиции плоской и сферической расходящейся волн

    (1.7.1)

либо суперпозиции плоской и сферической сходящейся волн

    (1.7.2)

Здесь — импульс электрона на бесконечности, — биспинор, описывающий состояние свободного электрона с импульсом и поляризацией и, наконец, некоторые биспиноры, зависящие от .

Покажем, как найти коэффициенты , предполагая, что функция имеет заданную асимптотику.

Воспользуемся для этого асимптотическим разложением (1.4.18) плоской волны по сферическим волнам при

и асимптотическим представлением функции при

где — фаза на бесконечности, определяющаяся характером силового поля и зависящая от и N — множитель, зависящий от нормировки функции который мы будем считать далее равным единице.

Образовав разность мы должны потребовать, чтобы в случае асимптотики (1.7.1) в ней исчезали все слагаемые, содержащие , а в случае асимптотики (1.7.2) — все слагаемые, содержащие . Это приводит к следующим значениям коэффициентов в первом случае

во втором случае

Таким образом, ряд

имеет асимптотику (1.7.1), а ряд

— асимптотику (1.7.2).

Волновые функции являются точными решениями уравнений Дирака во внешнем поле, относящимися к непрерывному спектру. При различных они образуют две полные

ортогональные системы функций, по которым может быть разложено произвольное решение уравнения Дирака.

Мы будем далее пользоваться точными волновыми функциями при вычислении матричных элементов, характеризующих различные процессы взаимодействия электронов и фотонов. При этом, как будет подробно разъяснено в п. 4.3.9, в качестве волновых функций частиц, образующихся в результате какого-либо процесса, следует всегда брать функции вида а в качестве волновых функций частиц, исчезающих в результате какого-либо процесса, — функции вида .

В случае кулоновского поля ядра функции имеют вид

где использованы обозначения § 1.5. Просуммировать эти ряды в общем виде невозможно. Однако, если по характеру физической задачи известно, что в исследуемом процессе главную роль играют большие прицельные параметры (которым соответствуют большие значения углового момента электройа), то эти ряды могут быть приближенно заменены функциями [26]

    (1.7.6)

Смысл этого приближения (оно называется приближением Фарри — Зоммерфельда — Мауэ или FSM, такое же название имеют к функции (1.7.6)) заключается в том, что если произвести разложения функций (1.7.6) в ряды по шаровым спинорам, то члены этих разложений будут существенно отличаться от соответствующих членов рядов (1.7.5) только при члены же с будут практически совпадать в обоих разложениях. Так как моменту I соответствует прицельный параметр , то использование функций вместо рядов (1.7.5) будет приводить к малым ошибкам, если эффективные значения прицельного параметра в исследуемом конкретном процессе удовлетворяют неравенству .

Заметим, что так как силовое поле обращается при в нуль, то расходящаяся и сходящаяся волны удовлетворяют уравнениям Дирака для свободного электрона

Но

Поэтому биспинорные амплитуды удовлетворяют уравнениям

Сравнение этих уравнений с (1.1.24) для биспинора (при ) показывает, что амплитуды можно представить в виде, аналогичном (1.1.27):

    (1.7.7)

где — двухкомпонентные спинорные амплитуды.

Используя ряды (1.7.3) и (1.7.4) и асимптотическое представление (1.4.11) функций легко убедиться, что

Заметим, что биспинор можно разложить по состояниям с определенной поляризацией

    (1.7.10)