2.2.3. Продольный и поперечные шаровые векторы.
Мы нашли систему собственных функций операторов квадрата момента фотона 
и его проекции 
Состояние фотона с определенными
значениями j и М описывается волновой функцией, являющейся в общем случае линейной комбинацией трех шаровых векторов!
Однако коэффициенты этой линейной комбинации не независимы, так как волновая функция фотона должна удовлетворять условию поперечности (2.1.11) 
. Поэтому имеется не три, а два различных состояния фотона с заданными квантовыми числами 
.
Чтобы условие поперечности выполнялось автоматически, удобно пользоваться не шаровыми векторами а некоторыми их тремя линейными комбинациями 
, две из которых 
перпендикулярны k, а третья 
направлена вдоль k. Эти комбинации называются поперечными и продольными шаровыми векторами. Для нахождения их воспользуемся разложением 
на шаровые векторы
(2.2.13)
Эта формула показывает, что мы можем определить продольный шаровой вектор 
как
(2.2.14)
Используя далее разложение (2.2.13) и значения коэффициентов 
легко убедиться, что
(2.2.14)
Поэтому представляет собой поперечный шаровой вектор, который мы будем обозначать через
(2.2.15)
Наконец, второй поперечный шаровой вектор 
мы определим как
(2.2.16)
Используя (2.2.13) и (2.2.10), можно выразить 
через шаровые векторы 
Из (2.2.13) и (2.2.17) следует, что
Шаровые векторы 
можно выразить через производные от шаровой функции 
Для этого следует воспользоваться формулой дифференцирования шаровых функций:
Сравнивая эту формулу с (2.2.17), мы видим, что
(2.2.19)
и, согласно (2.2.16),
где 
- оператор орбитального момента фотона.
Легко видеть, что шаровые векторы удовлетворяют условиям ортонормированности
