2.5.2. Операторы испускания и поглощения электронов и позитронов.

Выясним теперь физический смысл операторов

Обозначая через собственный вектор состояния оператора отвечающий собственному значению и учитывая, что возможные значения равны 0 и 1, имеем

а так как операторы эрмитово-сопряжены, т. е. , то

и, следовательно, . Из условия легко заключить, что

Итак,

Эти формулы показывают, что операторы а и можно интерпретировать как операторы рождения и уничтожения электрона в состоянии

Аналогичный смысл имеют операторы b и для позитрона: они представляют собой операторы рождения и уничтожения позитрона в состоянии

С помощью операторов рождения и уничтожения можно строить векторы различных состояний системы электронов и позитронов. Введем с этой целью вектор состояния вакуума электронно-позитронного поля 10), удовлетворяющий уравнениям

    (2.5.12)

Построим сперва векторы одночастичных состояний. Подействовав на вектор состояния вакуума операторами рождения частиц, мы получим векторы одночастичных состояний. Напрнмер, вектор

представляет собой вектор состояния электронного поля с одним электроном, находящимся в состоянии s. Действительно, этот вектор является собственным вектором оператора числа электронов с квантовыми числами s, принадлежащим собственному значению

Аналогично вектор

представляет собой вектор состояния электронного поля с одним позитроном, находящимся в состоянии

Учитывая условия нормировки этих векторов

усы получим формулы (2.5.10), (2.5.11) для матричных элементов операторов рождения и уничтожения частиц.

Заметим, что из этих формул вытекают следующие соотношения для средних по состоянию вакуума от произведений операторов рождения и уничтожения частиц:

Построим теперь векторы многочастичных состояний. Для этого нужно подействовать на вектор состояния вакуума не одним, а несколькими (по числу присутствующих частиц) операторами рождения частиц. Например, вектор

представляет собой вектор состояния поля с двумя электронами, обладающими квантовыми числами , а вектор

представляет собой вектор состояния поля с одним электроном, обладающим квантовыми числами s, и одним позитроном, обладающим квантовыми числами

Так как , то , т. е. не существует состояний поля с двумя электронами, обладающими одинаковыми квантовыми числами.

Возвратимся теперь к разложению (2.5.1). В соответствии со смыслом операторов можно сказать, что объединяет операторы рождения электронов и уничтожения позитронов, а — операторы уничтожения электронов и рождения позитронов. Используя формулы можно найти матричные элементы операторов соответствующие рождению и поглощению электронов и позитронов:

    (2.5.14)

где — решения уравнения Дирака для электрона в постоянном внешнем поле, соответствующие положительным и отрицательным частотам.

В этих формулах постоянное внешнее электромагнитное поле может быть произвольным, лишь бы оно было достаточно слабым. Поэтому, в частности, они относятся и к случаю свободных частиц. В этом случае можно ввести состояния частиц с определенным импульсом и определенной поляризацией, т. е. в качестве собственных функций взять плоские волны

При этом разложение (2.5.1) приобретает вид

    (2.5.15)

где представляет собой оператор рождения электрона с 4-имлульсом и поляризацией — оператор уничтожения электрона с импульсом и поляризацией — оператор рождения позитрона с импульсом и поляризацией — оператор уничтожения позитрона с импульсом и поляризацией

Формулы (2.5.14) для матричных элементов полей соответствующих рождению и уничтожению частиц, приобретают вид

    (2.5.16)

Эти формулы аналогичны формулам (2.3.12) для матричных элементов операторов потенциала электромагнитного поля, соответствующих испусканию и поглощению фотона.