ГЛАВА 3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

§ 3.1. Основные уравнения квантовой электродинамики

3.1.1. Уравнения квантовой электродинамики в гейзенберговском представлении.

До сих пор мы изучали, главным образом, свойства свободных частиц — электронов и фотонов. Только в §§ 1.5-1.7 рассматривалось движение электронов в электромагнитном поле, но поле это описывалось заданной с-числовой функцией координат и времени, т. е. речь шла о заданном внешнем электромагнитном поле. Если при этом внешнее поле не зависит от времени, то существуют индивидуальные стационарные состояния электронов, характеризующиеся определенными значениями энергии.

Теперь мы перейдем к изучению взаимодействия между электронами и электромагнитным полем, не считая его заданной с-числовой функцией, т. е. учитывая квантовую природу поля. Иными словами, мы будем изучать взаимодействие между электронами, позитронами и фотонами. Это взаимодействие приводит в частности к тому, что состояния, считавшиеся стационарными, в действительности не являются таковыми, так как становятся возможными различные переходы между ними, при которых изменяются значения энергии, импульса и момента взаимодействующих частиц. Но, кроме того, могут изменяться сами числа частиц, так как благодаря взаимодействию испускаются и поглощаются фотоны и рождаются и уничтожаются электронно-позитронные пары.

Несохранение числа частиц подсказывает метод описания взаимодействия между частицами: ясно, что необходимо пользоваться понятиями квантованных полей [1] — электромагнитного и электронно-позитронного (для краткости будем говорить просто об электронном поле). Это значит, что 4-потенциал электромагнитного поля и волновая функция электрона должны считаться не только функциями координат и времени, но и некоторыми операторами, действующими в пространстве векторов состояния системы взаимодействующих полей. Основная задача заключается теперь в том, чтобы установить уравнения для этих операторов, которые должны, естественно, учитывать взаимодействие между частицами.

Напомним с этой целью, как описываются состояния физических систем в кваншвой механике. Обычно используются два

метода. В первом из них вектор состояния, характеризующий систему, предполагается постоянным, а операторы, соответствующие различным физическим величинам, — изменяющимися со временем. Этот метод называется гейзенберговским представлением квантовой механики [2].

Во втором методе операторы, соответствующие физическим величинам, предполагаются не зависящими от времени, а вектор состояния — изменяющимся со временем. Этот метод называется шредингеровским представлением квантовой механики,

Уравнения движения для операторов в гейзенберговском представлении имеют формально такой же вид, как и уравнения классической механики для соответствующих величин. Поэтому естественно при установлении уравнений для взаимодействующих электронного и электромагнитного полей исходить из гейзенберговского представления и считать, что эти уравнения формально совпадают с уравнением Дирака для волновой функции электрона во внешнем электромагнитном поле и уравнениями Максвелла для электромагнитного поля, создаваемого электронным током, который определяется волновой функцией электрона. Иными словами, мы примем в качестве основных уравнений квантовой электродинамики в гейзенберговском представлении для операторов электромагнитного и электронного полей уравнения

где — 4-плотность электронного тока:

    (3.1.2)

(зарядово-сопряженные операторы электронного поля удовлетворяют уравнениям (3.1.1), в которых заряд e заменен на —e).

Кроме системы дифференциальных уравнений для операторов полей, должны быть сформулированы еще перестановочные соотношения между этими операторами. Так как изменение операторов со временем определяется уравнениями движения, то перестановочные соотношения могут быть заданы только для определенного начального момента времени. Задание начальных перестановочных соотношений эквивалентно заданию их в совпадающие моменты времени Мы примем в качестве таких соотношений

условия

В случае свободных полей эти соотношения эквивалентны общим соотношениям для произвольных моментов времени . В случае же взаимодействующих полей общие перестановочные соотношения для произвольных значений сформулировать заранее невозможно, так как для этого нужно было бы найти общее решение уравнений движения связанных полей.

Операторы полей действуют на векторы состояния Ф в пространстве чисел частиц. В гейзенберговском представлении эти векторы не зависят от времени и, так же как в случае свободных полей, ограничены добавочным условием

где — часть оператора содержащая положительные частоты. Возможность релятивистски инвариантным образом выделить эту часть связана с тем, что оператор при учете взаимодействия полей удовлетворяет в силу непрерывности тока такому же уравнению как и в случае свободных полей.