1.4.2. Волновая функция свободного электрона с определенным моментом.

Перейдем теперь к нахождению волновой функции свободного электрона с определенными значениями энергии и момента. Мы будем обозначать ее через и искать в виде

где — шаровой спинор, определяемый (1.4.3), — некоторые функции (они называются радиальными функциями). Спиноры удовлетворяют уравнениям (1.4.1), в которых нужно положить и считать

Подстановка (1.4.5) в (1.4.1) приводит к выражениям

где . Легко показать, что

где Поэтому в результате мы получим следующую систему уравнений для определения функций :

    (1.4.7)

где — энергия частицы. Вводя вместо а новые неизвестные

перепишем эту систему в виде

Исключая отсюда получим уравнение для определения

Решение этого уравнения выражается через функции Бесселя:

где — произвольные константы и

Из условия регулярности при следует, что при обоих значениях к

    (1.4.8)

Легко найти теперь :

Входящая в постоянная с определяется условием нормировки. Окончательно волновую функцию можно записать в виде

    (1.4.10)

где при нормировке на сферу радиуса R и при нормировке на .

При справедлива асимптотическая формула