5.6.6. Связь между амплитудой рассеяния фотона на нулевой угол и сечением образования пар.

Покажем, что матричный элемент когерентного рассеяния фотона в постоянном электромагнитном поле на нулевой угол связан простым соотношением с интегральным сечением образования пар фотоном в этом поле. Воспользуемся для этого условием унитарности матрицы рассеяния или

    (5.6.41)

Из (5.6.41) следует, что , или

    (5.6.42)

где — произвольное состояние системы полей, и суммирование производится по всем состояниям полей f. Левая часть этого соотношения представляет собой суммарную вероятность перехода системы полей из состояния i во все другие состояния (включая состояние 0. а правая — пропорциональна инвариантной амплитуде процесса рассеяния на нулевой угол.

Применим это соотношение к тому случаю, когда рассеяние происходит в постоянном внешнем электромагнитном поле и в исходном состоянии i находится одна частица (далее такой частицей мы будем считать фотон). В этом случае в элементах матрицы Т можно выделить -функцию от энергии

    (5.6.43)

где — инвариантная амплитуда процесса рассеяния суммарная энергия частиц в состоянии — энергия частицы в индивидуальном состоянии а (произведение по а распространяется на все индивидуальные состояния частиц как в состоянии i, так и в состоянии ) и V — нормировочный объем. Так как матричные элементы содержат -функцию от энергии, то левая часть равенства (5.6.42) пропорциональна времени перехода (ср. § 3.4). Поэтому, разделив на где — скорость частицы, присутствующей в состоянии , мы найдем сумму сечений всех процессов рассеяния

Рассмотрим теперь правую часть . В соответствии с (5.6.43) мы можем заменить на где значение амплитуды рассеяния процесса при угле рассеяния 0, равном нулю. Таким образом, соотношение (5.6.42) принимает вид

    (5.6.44)

где — импульс частицы. Это важное соотношение, связывающее суммарное сечение процессов рассеяния с амплитудой упругого рассеяния на нулевой угол, называется оптической теоремой.

Пусть в состоянии i находится один фотон, обладающий достаточно большой энергией, тогда суммарное сечение процессов рассеяния будет практически совпадать с сечением образования электронно-позитронных пар фотоном во внешнем поле ( — энергия фотона), так как сечение упругого рассеяния фотона значительно меньше Обозначая амплитуду упругого рассеяния фотона во внешнем поле через ( — угол рассеяния), мы можем, следовательно, написать на основании оптической теоремы соотношение

    (5.6.45)

Амплитуда упругого рассеяния фотона связана с элементом матрицы соответствующим когерентному рассеянию фотона в постоянном поле, соотношением

    (5.6.46)

а дифференциальное сечение упругого рассеяния фотона имеет вид

    (5.6.47)

где — элемент телесного угла, в котором лежит импульс рассеянного фотона.

При рассеянии в кулоновском поле на нулевой угол поляризация фотона, очевидно, не изменяется, Поэтому усредненное по состояниям поляризации значение амплитуды рассеяния на нулевой угол равняется согласно (5.6.39)

    (5.6.48)

Подставляя это выражение в (5.6.45), получим следующую общую формулу для интегрального сечения образования пар фотоном в постоянном внешнем электромагнитном поле:

    (5.6.49)

где

Чтобы найти тензор заметим, что он должен иметь следующую структуру:

    (5.6.50)

где — некоторые инвариантные функции q и k. С другой стороны, в силу градиентной инвариантности выражения (5.6.49) для сечения образования пар должно выполняться соотношение Поэтому функции G, связаны между собой соотношениями

Таким образом, для определения достаточно найти две из четырех инвариантных функций . Мы не будем приводить здесь вычисления этих функций, а приведем только окончательные результаты [28].

Если

где

Сечение образования пары фотоном большой энергии в кулоновском поле ядра равно

Поэтому, согласно (5.6.45), в этом случае

    (5.6.52)

Зная мнимую часть амплитуды, можно найти ее реальную часть, еслн воспользоваться дисперсионным соотношением

где q — переданный ядру импульс. Эта формула вытекает из формулы Коши и предположения об аналитичности f (со, д)

(контур С изображен на рис. 5.17).

Подставляя (5.6.52) в (5.6.53), получим

Рис. 5.17.

Интегральное сечение когерентного рассеяния фотона большой энергии в кулоновском поле ядра равно