ГЛАВА 1. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ЭЛЕКТРОНА

§ 1.1. Свободный электрон

1.1.1. Уравнение Дирака.

Корпускулярные свойства света явились исторически первым фундаментальным фактом, послужившим основой для развития квантовой теории. Соотношение Планка — Эйнштейна между энергией частицы света — фотона — и частотой колебаний соответствующего ему электромагнитного поля <и было исторически первым соотношением, содержащим квантовую постоянную Н.

Однако последовательная квантовая механика атома была построена до квантовой механики фотона. Это обстоятельство имеет глубокую физическую причину. Атомные частицы — электроны и ядра — имеют отличную от нуля массу покоя. Для них существует область энергий, малых по сравнению с энергией покоя, в которой можно не учитывать теорию относительности. Напротив, масса покоя фотона равна нулю, для него не существует нерелятивистской области, и квантовая механика фотона должна быть с самого начала релятивистской теорией.

По этой причине естественно начать изучение релятивистской квантовой теории с релятивистской квантовой механики электрона, допускающей предельный переход к нерелятивистской квантовой механике, в основе которой лежит уравнение Шредингера для волновой функции

где Н — гамильтониан системы (постоянная Планка считается равной единице).

Релятивистское квантовомеханическое уравнение для электрона было открыто Дираком (1928 г.) [1], который исходил из требования, чтобы преобразование, связывающее волновую функцию, отнесенную к определенному моменту времени, с волновой функцией, отнесенной к более позднему моменту времени, было унитарным:

где U — унитарный оператор. Унитарность преобразования U эквивалентна справедливости уравнения Шредингера, в котором

оператор Н связан с U соотношением

С другой стороны, уравнение Шредингера содержит первую производную по времени, поэтому, если исходить из симметрии между пространственными координатами и временем, то следует считать гамильтониан Н не квадратичным, а линейным по пространственным производным:

где — оператор импульса частицы и а и — некоторые величины, не зависящие от координат.

Таким образом, мы приходим к уравнению

    (1.1.1)

Дифференцируя его по времени, получим

Но для свободной частицы, обладающей заданными импульсом и энергией , волновая функция должна изменяться как поэтому из последнего уравнения следует, что

    (1.1.2)

Для релятивистской частицы (считается, что с = 1). Эта связь между энергией и импульсом будет тождественно выполняться, если

    (1.3.3)

Мы видим, что величины и Р нельзя рассматривать как обычные числа. Однако соотношения (1.1.3) могут быть удовлетворены, если являются матрицами. Например, можно считать, что

где — матрицы Паули,

Уравнение (1.1.1) с матрицами удовлетворяющими соотношениям (1.1.3), называется уравнением Дирака. Так как представляются четырехрядными матрицами, то волновую функцию следует считать четырехкомпонентной величиной

так что

Четырехкомпонентная функция называется биспинором. Ее можно представить как совокупность двух двухкомпонентных функций — спиноров

    (1.1.6)

Из уравнения Дирака следует, что удовлетворяют уравнениям

    (1.1.7)

Мы привели соображения, которыми руководствовался Дирак при установлении своего уравнения. Однако следует иметь в виду, что уравнения в гамильтоновой форме сами по себе могут быть езде недостаточными для полного описания свойств динамической системы. Например, уравнения Максвелла

имеют гамильтонову форму

    (1.1.8)

где

Однако этих уравнений недостаточно для полного описания электромагнитного поля, так как они должны быть дополнены условием случае уравнений Максвелла матрицы не удовлетворяют перестановочному соотношению тем не менее уравнения (1.1.8) вместе с дополнительным условием приводят к тому, что удовлетворяет волновому уравнению . Из приведенного примера видно, что из (1.1.2) еще не вытекают соотношения (1.1.3): последние являются достаточными, но не необходимыми условиями справедливости (1.1.2).

Что касается симметрии между пространственными координатами и временем, то такой симметрии может и не быть, а теория будет тем не менее релятивистски инвариантной. Рассмотрим, например, уравнение Клейна — Гордона, описывающее частицу со спином нуль,

Если ввести вместо скалярной функции У) двухкомдонентную функцию

то уравнение Клейна — Гордона примет вид

где

Это уравнение является релятивистски инвариантным, но содержит первую производную по времени и вторые производные по пространственным координатам.

Таким образом, соображения, использованные при установлении уравнения Дирака, строго говоря, недостаточны. «Развитие релятивистской теории электрона, — говорит Дирак [2], - можно рассматривать сейчас как пример того, как неверные доводы приводят иногда к ценному результату».

Главное заключается в том, что нельзя исходить из того, что волновая функция отдельного электрона должна изменяться согласно закону унитарного преобразования, поскольку релятивистская квантовая механика не может быть развита как теория одной частицы, а должна строиться как теория многих частиц.

Тем не менее существует большой круг явлений, которые можно описывать, исходя из одночастичной картины. Этим кругом явлений мы и будем в основном заниматься в данной главе и только при изучении движения электрона в электрическом поле будем вынуждены выйти за пределы одночастичной теории (см. § 1.6).