1.3.2. Второе приближение.
Найдем теперь второе приближение, продолжив разложение до членов порядка 
Ограничимся случаем, когда имеется только постоянное внешнее электрическое поле.
Подставив в отброшенные ранее члены второго уравнения (1.3.3) значение 
в первом приближении и решив это уравнение относительно 
, получим
Подставив далее это выражение в первое уравнение (1.3.3), получим следующее уравнение для 
:
Умножая это уравнение на 
и сохраняя члены порядка не выше 
перепишем его в виде
Хотя это уравнение формально и имеет вид уравнения Шредингера, тем не менее оно им не является, так как функция 
не имеет точного смысла волновой функции электрона, а оператор Н нельзя рассматривать как оператор Гамильтона. Действительно, интеграл 
не сохраняется во времени (согласно уравнению непрерывности сохраняется интеграл 
), поэтому 
нельзя пронормировать; оператор же Н не является самосопряженным, так как он содержит слагаемое 
Чтобы найти волновую функцию и гамильтониан во втором приближении, произведем преобразование 
, где 
— некоторый оператор, не содержащий явно времени. Тогда 
будет удовлетворять уравнению
Если мы подберем теперь О таким образом, чтобы выполнялось условие
то Ф можно будет интерпретировать как волновую функцию, а Н — как гамильтониан во втором приближении.
Подставляя в это условие вместо 
выражение (1.3.4), получим
откуда следует, что с требуемой точностью оператор О имеет вид
Так как оператор О отличается от единицы на слагаемое порядка 
, то преобразование 
не затрагивает уравнения первого приближения, в котором, с точностью до членов порядка 
функция 
является нормируемой.
Найдем теперь оператор Гамильтона во втором приближении. Используя выражения для операторов О и Н, получим, сохраняя члены порядка 
Замечая, что
где 
— электрическое поле, получим окончательно следующее выражение для оператора Гамильтона:
(1.3.11)
Этот оператор, как легко видеть, является эрмитовским.
Последние три члена в гамильтониане (1.3.11) являются поправками порядка 
. Из них первый член учитывает зависимость массы от скорости, а второй можно интерпретировать как энергию взаимодействия движущегося магнитного диполя с электрическим полем. Поскольку электростатическое поле удовлетворяет уравнению 
, где 
— плотность зарядов, создающих поле, то последний член отличен от нуля только в тех точках, где находятся эти заряды.
До сих пор мы считали, что внешнее магнитное поле отсутствует. Чтобы получить гамильтониан при наличии такого поля, нужно в выражении (1.3.11) произвести замены
где А — векторный потенциал. В результате мы получим следующее выражение для гамильтониана с учетом членов порядка 
