§ 3.7. Расходимости в матрице рассеяния и их устранение

3.7.1. Расходимости в интегральных выражениях для неприводимых диаграмм.

При вычислении элементов матрицы рассеяния в высших приближениях мы встречаемся с принципиальной трудностью, заставлявшей в течение многих лет думать, что применимость квантовой электродинамики вообще ограничена первым приближением. Эта трудность заключается в том, что выражения для матричных элементов в высших приближениях содержат интегралы, расходящиеся в области больших импульсов виртуальных частиц.

Чтобы разъяснить возникновение расходимости, рассмотрим некоторую неприводимую диаграмму. Ей соответствует в общем случае многократный интеграл по импульсам виртуальных частиц

где — некоторая рациональная функция, представляющая собой отношение двух полиномов. Так как каждой внутренней электронной линии диаграммы соответствует множитель , содержащий импульс в степени —I, а каждой внутренней фотонной линии — множитель содержащий импульс в степени —2, то разность степеней полиномов, стоящих в числителе и знаменателе будет равна , где — числа внутренних электронных и фотонных линий. Вопрос заключается в том, сходится или расходится интеграл J. Для решения этого вопроса напомним сперва, что интегрирование по четвертой компоненте каждого из -векторов - происходит в соответствии с правилом обхода полюсов, т. е. вдоль контура С, изображешюго на рис. А. 1. Этот контур целесообразно повернуть на угол что, очевидно, можно сделать. При этом компонента каждого из 4-векторов заменится на перейдет в где — вещественная величина.

Таким образом, поворот пути интегрирования С на соответствует переходу в -пространстве к обычной евклидовой метрике, в которой квадрат длины равен сумме квадратов всех четырех координат с вещественной четвертой координатой.

После перехода к евклидовой метрике легко решить вопрос о сходимости интеграла J. Для этого достаточно подсчитать число

переменных интегрирования в J. Число различных импульсов равно числу внутренних линий, т. е. Но они не независимы, так как три импульса линий, сходящихся в каждой из вершин диаграммы, связаны законом сохранения. Один из законов сохранения можно отнести к внешним линиям, поэтому всего число независимых импульсов, по которым производится интегрирование, равно Если записать интеграл схематически в виде

то, используя приведенный подсчет и соотношения (3.6.31), мы получим

где — числа внешних электронных и фотонных линий.

Поскольку мы рассматриваем неприводимую диаграмму, то подынтегральная функция не распадается на множители, содержащие независимые переменные. Поэтому сходимость интеграла определяется просто разностью

    (3.7.1)

При интеграл сходится, при — расходится. Замечательно, что величина К зависит только от числа внещних линий.

Из (3.7.1) следует, что имеется ограниченное число типов расходящихся интегралов, соответствующих следующим значениям чисел

На рис. 3.32 изображены простейшие неприводимые диаграммы, соответствующие этим расходимостям. Не все из них, однако, вносят вклад в матричные элементы. Ясно, что диаграмму 7, представляющую собой вакуумную петлю, можно вовсе не принимать во внимание. Можно также, согласно теореме Фарри, не рассматривать диаграмм 4 и 6, представляющих собой замкнутые электронные петли с нечетным числом вершин. (Мы сохраним, однако, диаграмму 4 с одним направлением обхода электронной петли, так как она определяет трехфотониую вершинную функцию V.)

Таким образом, основными неприводимыми диаграммами, приводящими к расходимостям в матрице рассеяния, является ЭСЭД и ФСЭД 2-го порядка, ВД любого порядка и диаграмма рассеяния света светом (диаграмма 3 на рис. 3.32). Первой из них соответствует второй — и остальным —