4.4.3. Исследование расходимости в области малых частот.

Покажем, что распределение Пуассона для вероятности излучения длинноволновых фотонов может быть получено с помощью матрицы рассеяния [21], если только выполняются условия (4.4.1), означающие, что излучение оказывает малое влияние на движение электрона, которое можно поэтому считать заданным. В этих условиях плотность тока можно считать не оператором, а с-числом и воспользоваться выражением (3.2.27) для матрицы рассеяния. Разлагая плотность тока в интеграл Фурье

и используя разложение операторов потенциалов электромагнитного поля на плоские волны, представим матрицу рассеяния S в виде

В интеграле, входящем в первую экспоненту,

можно в соответствии с правилом обхода полюсов в подынтегральной функции (полюсами являются точки ) выполнить интегрирование по

где . Поэтому S-матрица может быть представлена в виде

    (4.4.26)

где

Вычислим элемент матрицы S, связывающий состояние вакуума с состоянием, в котором находится фотонов различных сортов, — число фотонов с импульсом ). Рассмотрим для этого член в разложении -матрицы и найдем матричный элемент

Легко видеть, что

    (4.4.27)

Найдем теперь вероятность излучения фотонов с различными импульсами. Эта вероятность, которую мы обозначим через равна, очевидно, квадрату модуля просуммированному по , причем сумма должна быть равна заданному числу . Так как , то

Сумма квадратов модулей поперечных составляющих плотности тока равна в силу уравнения непрерывности квадрату модуля 4-вектора плотности тока Поэтому окончательно может быть представлено в виде

Таким образом, мы получили для вероятности излучения длинноволновых фотонов распределение Пуассона. Ясно, что представляет собой среднее число фотонов с импульсом к. Для суммарного среднего числа излученных длинноволновых фотонов мы получим выражение

совпадающее с найденным классическим выражением (4.4.9).

Как было разъяснено выше, всякий процесс столкновения заряженных частиц сопровождается длинноволновым излучением. Найдем вектор состояния этого излучения где — оператор (3.2.27) [21]. Из (4.4.24) следует, что S представляет собой произведение операторов, отвечающих каждой степени свободы поля, характеризуемой волновым 4-вектором k и поляризацией . Поэтому где — вектор состояния данной степени свободы поля.

Разложим далее Ф, по состояниям с определенным числом фотонов

Согласно (4.4.27)

    (4.4.28)

Таким образом,

Для выяснения свойств этого состояния рассмотрим действие оператора поглощения фотона сна вектор состояния Ф. Согласно (4.4.28)

а так как , то

    (4.4.30)

т. е. , является собственным вектором оператора — соответствующим собственным значением. Заметим в связи с этим, что согласно является средним числом фотонов в состоянии Ф.

Аналогично вектор состояния Ф является собственным вектором оператора

    (4-4-31)

представляющего собой положительно-частотную часть оператора потенциала Действительно, из (4.4.30) и (4.4.31) следует:

где определяется формулой (4.4.31), в которой операторы заменены параметрами :

Нетрудно убедиться, что представляет собой классическое ноле, удовлетворяющее уравнению Даламбера

Вспоминая результаты § 2.4, можно сказать, что являются когерентными состояниями поля излучения.

Подчеркнем, что и Ф являются состояниями с неопределенной энергией. Эта неопределенность соответствует тому, что в задаче об излучении мы пренебрегали изменением энергии излучающей частицы в процессе излучения.