1.3.4. Высокоэнергетическое приближение.

Точное решение уравнений (1.3.13) или (1.3.15) и (1.3.16) нельзя получить в общем виде. Можно, однако, указать процедуру приближенного решения этих уравнений, которая справедлива в области высоких энергий, когда возможно разложение функций и f по , где — импульс частицы [14].

Рассмотрим для простоты тот случай, когда , где не зависит от времени. Полагая , где е — энергия частицы, получим, согласно (1.3.13), следующее уравнение для определения

    (1.3.17)

Функция связана с соотношением

    (1.3.18)

На больших расстояниях от области, где отлична от нуля, при функция предполагается имеющей вид

    (1.3.19)

где — импульс частицы (направленный вдоль оси ) и — соответствующий постоянный биспинор. Решение (1.3.17) будем искать в виде

    (1.3.20)

где удовлетворяют уравнениям

Если энергия частицы достаточно велика, то функции S и f можно искать в виде разложения по обратным степеням

где пропорциональны . Первые члены этого разложения имеют вид

    (1.3.23)

где — прицельный параметр и .

Разложения (1.3.22) справедливы, если Из этих неравенств следует, что

    (1.3.24)

где — некоторая эффективная область координаты (вдоль ), в которой отличны от нуля интегралы (1.3.23). Кроме того, из условия вытекает неравенство

    (1.3.25)

Если в разложениях (1.3.22) отбросить слагаемые, пропорциональные величину и слагаемое мы получим

волновую функцию в так называемом эйкональном приближении

    (1.3.26)

Здесь сохранен первый член разложения по содержащий -матрицы, так как при вычислении конкретных матричных элементов этот член может давать вклад, сравнимый со вкладом слагаемого, не содержащего у-матриц.

Подставляя (1.3.26) в (1.3.18) и сохраняя главный член разложения по получим

    (1.3.27)

Действительно, так как

то в рассматриваемом приближении мы получим для выражение (1.3.27).

Заметим, что для нахождения главного члена разложения по необходимо знать функцию с точностью до членов порядка

Легко получить также следующее приближение в содержащее спинорную структуру, отличную от структуры (1.3.27). Сохранив с этой целью в слагаемые порядка и содержащие -матрицы слагаемые порядка получим после простых, но длинных вычислений следующее выражение для

    (1.3.28)

Мы видим, что в рассматриваемом приближении . До сих пор предполагалось, что при волновая функция имеет вид плоской волны. Аналогичные результаты можно получить, если волновая функция имеет вид плоской волны не при а при . В последнем случае эйкональная волновая функция имеет вид

    (1.3.29)

где

При этом

    (1.3.30)

Сравним в заключение этого пункта квазиклассическое и высокоэнергетическое приближения. В квазиклассическом приближении функция раскладывается в ряд по степеням Н. В высокоэнергетическом приближении производится разложение этой же функции в ряд по степеням Точнее говоря, в квазиклассическом приближении изменение длины волны на расстоянии длины волны должно быть малым по сравнению с длиной волны; в высокоэнергетическом приближении длина волны должна быть мала по сравнению с , т. е. должны быть велики прицельные параметры. По этой причине высокоэнергетическое приближение пригодно для описания процессов, при которых угол рассеяния частицы невелик.