3.6.4. Перенормировка элементов матрицы рассеяния.

В § 3.5 мы показали, что для учета высших приближений теории возмущений внутренним линиям и внутренним вершинам неприводимых диаграмм нужно сопоставлять функции Грина и вершинную функцию а внешним линиям — амплитуды а и а. Иными словами, если рассматривается некоторая неприводимая диаграмма порядка, то соответствующий ей элемент -матрицы может быть схематически представлен в виде

    (3.6.29)

где — числа внутренних электронных и фотонных линий, — числа внешних электронных и фотонных линий и служит для обозначения того, что величина типа Г входит под знаком интеграла раз.

Матрнчный элемент выражен через неперенормированные величины. Посмотрим теперь, какой вид будет иметь , если перейти к перенормированным величинам . Здесь соответствуют перенормированным величинам (подчеркнем, что в перенормированные величины входит масса реального, а не «голого» электрона).

Легко видеть, что

    (3.6.30)

Но в каждой вершине сходятся две электронные и одна фотонная линии, причем внутренняя линия входит в две вершины, а внешняя линия — в одну вершину. Поэтому

    (3.6.31)

и, следовательно,

    (3.6.32)

Таким образом, матричные элементы выражаются одинаково как через неперенормированные величины , так и через перенормированные величины Это фундаментальное свойство -матрицы носит название перенормируемости квантовой электродинамики [8]. Оно, очевидно, базируется на соотношении (3.6.31), связывающем числа вершин и линий в неприводимых диаграммах.

Так как постоянные Z и не входят в выражение (3.6.32) для перенормированного матричного элемента , то его можно вычислять по тем же правилам, что и исходный матричный элемент (выраженный через неперенормированные величины). При этом желательно с самого начала пользоваться перенормированными величинами Эти величины, как мы видели в п. 3.6.3, определяются величинами и , которые в свою очередь определяются величинами последние же выражаются через перенормированные величины так же, как величины выражаются через неперенормированные величины. Действительно, рассмотрим, например, неприводимую диаграмму порядка для величины (диаграммы 3-го и 5-го порядков изображены на рис. 3.13). Соответствующая ей величина может быть схематически записана в виде

    (3.6.33)

Переходя к перенормированным величинам, получим

    (3.6.34)

Таким образом, можно вычислять по тем же правилам, что и А, заменив исходные функции и величины перенормированными функциями и истинными массой и зарядом электрона

Аналогичное заключение можно сделать и о функции рассматривая неприводимые скелетные диаграммы для трехфотонной вершинной функции. Функция выражается через так же, как функция V выражается через

Такой же вывод справедлив и для функции (при этом только одной из вершин в неприводимой диаграмме должна сопоставляться функция Г),

Что же касается функции то для нее справедливо соотношение

Используя соотношение (3.6.34) для и аналогичное соотношение для можно, в принципе, получить разложения функций в ряды по степеням истинного заряда электрона . Подстановка этих рядов в выражение (3.6.32) для перенормированного матричного элемента даст также ряд по степеням Таким образом может быть построена теория возмущений, содержащая ряды по степеням заряда реального, а не «голого» электрона.