4.4.2. Сечение рассеяния электрона с излучением мягкого фотона.

Поскольку теория возмущений приводит к неправильному значению вероятностей различных процессов взаимодействия

электрона с длинноволновыми фотонами, мы в дальнейшем, пользуясь теорией возмущений, выделим область малых частот, т. е. будем считать, что частота фотона превосходит некоторое минимальное значение Эта величина должна быть исключена, для чего должно быть произведено специальное исследование взаимодействия электрона с длинноволновыми фотонами. Практически удобнее, однако, пользоваться несколько иным условием, эквивалентным условию а именно, не накладывая ограничений на частоту фотонов, считать, что фотон обладает некоторой малой массой , отличной от нуля. Введение этой массы, являющейся релятивистски инвариантной величиной в отличие от неинвариантной величины сильно упрощает расчеты.

Покажем, как найти связь между «массой» фотона и минимальной частотой Рассмотрим излучение фотона электроном в некотором постоянном внешнем поле Согласно (4.1.1), матричный элемент, определяющий излучение фотона с энергией и вектором поляризации, направленным вдоль оси равен

— 4-импульсы электрона до и после рассеяния). Так как нас интересует область малых частот, то мы можем пренебречь в числителях величиной k. Вводя далее «массу» фотона Я согласно соотношению перепишем в виде

где

Аналогичным образом

Поэтому

    (4.4.14)

Предполагая, что мы можем пренебречь , так как содержит слагаемое , которое значительно больше

Определим теперь сечение рассеяния электрона, сопровождающееся испусканием фотона, энергия которого не превосходит Де. Относительно величины Де мы будем предполагать, что она значительно меньше энергии электрона и значительно больше массы фотона Дифференциальное сечение этого процесса, просуммированное и усредненное по ориентациям спина электрона в начальном и конечном состояниях, равно

где

— элемент телесного угла, в котором лежит импульс электрона после рассеяния, — начальная скорость электронов и — число конечных состояний электрона, отнесенное к единичному интервалу энергии и единичному телесному углу, . В случае кулоновского поля ядра

— угол рассеяния). Чтобы установить интересующую нас связь между массой фотона Я и минимальной частотой мы вычислим входящую в (4.4.15) величину В двумя способами [20]: сначала предполагая, что изменяется от до , а затем считая, что изменяется от до . Сравнивая оба выражения для В, обозначаемые далее через мы найдем соотношение между и Замечая, что имеем

где — элемент телесного угла, в котором лежит импульс фотона k.

Воспользуемся далее тождеством

где

Тогда

Так как

то

Легко видеть, что

Поэтому

Вводя вместо z новую переменную интегрирования

представим в виде

    (4.4.19)

где величина Ф связана с q соотношением . Так как , то .

Полагая в и интегрируя по в пределах от до найдем

    (4.4.20)

Сравнивая (4.4.19) и (4.4.20), найдем искомую связь между

В предельном случае малых энергий электрона, эта формула приводит к соотношению

    (4.4.21)

Подставляя (4.4.19) в (4.4.15), получим следующее выражение для дифференциального сечения рассеяния электрона в кулоновском поле ядра с излучением фотона, энергия которого не превосходит

    (4.4.22)

где

Если

где

Приведем в заключение этого пункта выражения для сечений излучения мягкого фотона в процессах в области высоких энергий. В с. ц. и. сечения имеют вид

    (4.4.24)

где - угол рассеяния электрона и — сечение основного процесса:

В системе покоя одной из сталкивающихся частиц сечения определяются формулами: