§ 4.5. Образование и аннигиляция электронно-позитронных пар

4.5.1. Образование электронно-позитронной пары фотоном в поле ядра.

Для возможности процесса образования электронно-позитронных пар необходима, очевидно, энергия, не меньшая чем . Один фотон, обладающий достаточной энергией, не может, однако, образовать пары, так как при этом не могут одновременно выполняться законы сохранения энергии и импульса. Для образования пары одним фотоном необходимо поэтому присутствие посторонней частицы, например ядра.

Электронно-позитронные пары могут образовываться также при столкновении двух заряженных частиц или фотонов, обладающих достаточной энергией. Мы прежде всего рассмотрим образование пары фотоном в поле ядра. Этому процессу соответствуют две диаграммы, изображенные на рис. 4.10 ( обозначают 4-импульсы электрона и позитрона, а к — 4-импульс фотона).

Матричный элемент, определяющий образование пары, согласно правилам Фейнмана имеет вид

где — компонента Фурье поля ядра, спинорные амплитуды электрона и позитрона и . Диаграммы эквивалентны, очевидно, диаграммам рис. 4.4, соответствующим тормозному излучению в поле ядра. Отличие заключается в интерпретации диаграмм: теперь правая (входящая) сплошная линия на каждой из двух диаграмм отвечает не начальному электрону, а конечному позитрону, и одна из пунктирных линий изображает не испущенный, а поглощенный фотон.

Рис. 4.10.

Соответственно этому матричный элемент (4.5.1) можно получить из матричного элемента (4.1.1), если сделать в последнем замену: . Поэтрму мы можем не вычислять заново сечения образования пары, а воспользуемся готовыми результатами для сечения тормозного излучения. Следует лишь иметь в виду, что в отличие от процесса тормозного излучения, где плотность потока падающих частиц равняется скорости электрона, теперь плотность потока падающих частиц — фотонов — равняется скорости света. Кроме того, изменяется число конечных состояний, которое теперь равняется

Учитывая эти изменения, получим следующее выражение для дифференциального сечения образования пары фотоном в кулоновском поле ядра [11]:

где — элементы телесных углов, в которых лежат импульсы позитрона и электрона, и — энергии обеих частиц. Они связаны, очевидно, соотношением

Формулу (4.5.2) можно переписать также в виде

где — углы между — угол между плоскостями к,

Определяемое формулой (4.5.3) угловое распределение имеет довольно сложный характер. Оно сильно упрощается только в крайне релятивистской области, когда главную роль играют малые углы . В этом случае электрон и позитрон испускаются преимущественно вперед, т. е. в узком конусе около направления движения фотона; эффективный угол раствора этого конуса равен по порядку величины Заменяя в формуле , получим следующую формулу, определяющую угловое распределение в области малых углов:

где

Интегрирование (4.5.3) по углам дает дифференциальное сечение образования пары с энергией позитрона в интервале

где

В крайне релятивистской области, когда все энергии значительно больше , это выражение сильно упрощается:

    (4.5.5)

Формулы (4.5.4), (4.5.5) не учитывают экранирования поля ядра. Поэтому они справедливы, согласно п. 4.3.4, если

Учет экранирования может быть произведен таким же образом, как и в случае тормозного излучения. В крайне релятивистской области (со, мы получим для сечения образования пар формулу

где — те же функции, которые входят в (4.3.38).

В случае полного экранирования, когда последняя формула приобретает вид

    (4.5.7)

Чтобы найти полное сечение образования пары, нужно проинтегрировать выражение (4.5.4) по энергии позитрона. Непосредственное интегрирование, однако, невозможно. Его удается выполнить в замкнутом виде только в крайне релятивистском случае, используя формулу (4.5.5):

    (4.5.8)

(Эта формула не учитывает экранирования.)

Интегрируя (4.5.7) по найдем сечение образования пары в случае полного экранирования

    (4.5.9)

В п. 5.6.6 мы установим связь между интегральным сечением образования пары фотоном и сечением рассеяния фотона в поле ядра на нулевой угол. Используя эту связь, можно показать, что сечение образования пары без учета экранирования определяется следующей формулой [23]:

Здесь

и эллиптические интегралы:

В крайне релятивистской области эта формула переходит в формулу (4.5.8).

Рис. 4.11.

На рис. 4.11 изображено энергетическое распределение частиц пары, определяемое формулами (4.5.4) и (4.5.6). По оси абсцисс отложено отношение кинетической энергии позитрона к суммарной кинетической энергии пары , а по оси ординат — величина Различные кривые относятся к различным значениям которые указаны у кривых. Кривые для справедливы при всех Z, так как при этих значениях энергии фотона можно пренебречь экранированием. Остальные кривые учитывают экранирование и относятся к свинцу и алюминию. Кривая соответствует полному экранированию.

При малых значениях энергии фотона кривые имеют один нерезкий максимум, соответствующий одинаковым энергиям электрона и позитрона. При больших энергиях кривые имеют два одинаковых симметрично расположенных максимума, из которых один соответствует максимуму энергии позитрона и минимуму энергии электрона, а другой, наоборот, — минимуму энергии позитрона и максимуму энергии электрона.

На рис. 4.12 изображена зависимость интегрального сечения образования пары от энергии фотона для свинца и алюминия.

Рис. 4.12.