4.4.4. Излучение мягких фотонов при произвольных столкновениях.

В п. 4.3.1 отмечалось, что в нерелятивистском случае дифференциальное сечение тормозного излучения представляет собой произведение сечения упругого рассеяния и вероятности излучения Покажем, что такое же соотношение имеет место для излучения, сопровождающего произвольный процесс столкновения, если только энергия излучаемого фотона достаточно мала, т. е. при выполнении условий (4.4.1). При этом мы будем считать, что соблюдено условие применимости теории возмущений

Рассмотрим сначала излучение мягкого фотона во внешнем поле. Тогда согласно (4.4.14)

    (4.4.32)

Мы видим, что матричный элемент М содержит два множителя: первый множитель представляет собой амплитуду упругого рассеяния, а второй — ток перехода Выражение для имеет полюс при что и является причиной «инфракрасной катастрофы».

Аналогичную структуру имеют токи перехода для любых рассеивающих заряженных частиц при так как выражение (4.4.32) — это единственный тип выражения, удовлетворяющего уравнению непрерывности и имеющего полюс при Руководствуясь этим, можно обобщить выражение для матричного элемента (4.4.32) на случай излучения мягких фотонов при любых столкновениях.

Рассмотрим, например, упругое столкновение заряженной частицы а с нейтральной частицей b, вызванное сильным взаимодействием (диаграмма этого процесса изображена на рис. и обозначают -импульсы частицы а до и после рассеяния, — аналогичные величины для частицы b). Этот процесс, амплитуду которого мы обозначим через будет сопровождаться излучением мягкого фотона (рассеянию с излучением соответствуют диаграммы рис. 4.8). Для амплитуды рассеяния с излучением может быть написано выражение, аналогичное (4.4.32):

    (4.4.33)

где определяется формулой (4.4.32), в которую вместо должен входить заряд частицы а.

Это выражение можно получить, исходя из диаграмм рис. 4.8, если сопоставить вершине величину (такой вид имеет при вершинная функция для любых заряженных частиц).

Рис. 4.7.

Рис. 4.8.

Формулу (4.4.33) можно применить к излучению мягкого фотона при произвольном столкновении, если под понимать амплитуду соответствующего процесса без излучения, а под током перехода — величину

где — заряды и импульсы начальных частиц и - аналогичные величины для конечных частиц.

Кроме главной «инфракрасной» части амплитуды излучения (пропорциональной ), можно найти столь же общее выражение для поправки к ней, не содержащей Вернемся с этой целью к процессу, изображенному на рис. 4.8. Легко видеть, что поправочные члены могут быть трех типов. Во-первых, дополнительные члены появятся в числителях выражения для тока перехода (4.4.34), т. е. дополнительные члены возникнут в вершинах диаграмм рис. 4.8, причем они должны быть пропорциональны k. Эти члены определяются магнитными моментами частиц; в случае частиц со спином нуль они отсутствуют.

Во-вторых, такие члены появятся, если учесть, что амплитуды рассеяния отвечающие двум диаграммам рис. 4.8, относятся к разным энергиям рассеивающейся частицы. Если энергия частицы а в системе покоя частицы b равна на первой диаграмме, то на второй диаграмме она будет равна . Вводя вместо инвариантные переменные , где m — масса частицы мы можем записать в виде

(для краткости мы не указываем других аргументов, от которых зависит ).

Наконец, интересующие нас члены могут содержаться во «внутреннем» излучении, описываемом диаграммами типа рис. 4.9. Это излучение определяется током перехода о котором мы мало что знаем, так как он существенно зависит от сильных взаимодействий. Однако замечательно, что можно найти первый член его разложения по так как он определяется только требованием сохранения тока. Для этого достаточно заметить, что амплитуда не удовлетворяет требованиям калибровочной инвариантности. Действительно, согласно (4.4.35)

    (4.4.36)

Рис. 4.9.

Очевидно, что «внутренний» ток , соответствующий диаграмме рис. 4.9, должен компенсировать этот дефект тока Поскольку ток не должен в рассматриваемом приближении зависеть от к, то он однозначно определяется соотношением (4.4.36), .

Таким образом, окончательно мы получим следующее выражение для амплитуды излучения мягкого фотона с учетом членов, остающихся конечными при

(Заметим, что несимметричная форма этого выражения относительно начальных и конечных импульсов частиц связана только с несимметричным выбором переменной )