§ 2.3. Квантование электромагнитного поля

2.3.1. Операторы испускания и поглощения фотона.

Мы построили, исходя из уравнений Максвелла, волновую функцию фотона в импульсном пространстве и изучили квантовые состояния фотона. Однако для общей формулировки теории электромагнитного поля и изучения различных процессов его взаимодействия с электронами удобнее пользоваться другим методом — методом вторичного квантования [4]. Этот метод заключается в том, что -потенциал и соответственно поля рассматриваются не как обычные величины (с - числа), а как операторы (-числа), подчиняющиеся определенным перестановочным соотношениям.

Эти операторы действуют на вектор состояния Ф, описывающий состояние электромагнитного поля как некоторой обобщенной квантовомеханической системы. Вектор состояния Ф определяется в пространстве чисел частиц (фотонов) и не зависит

от координат, функциями которых являются только операторы поля. Можно определить Ф так, чтобы он не зависел и от времени. Тогда (а также Е и Н) представляют собой операторы полей в гейзенберговском представлении.

Если представить (а также Е и Н) в виде суперпозиции волн, каждая из которых удовлетворяет уравнениям Максвелла, то операторные, т. е. квантовые, свойства должны нести амплитуды этих волн.

Будем исходить из разложения на плоские волны

тогда q-числами будут амплитуды . Условия коммутации, накладываемые на амплитуды суперпонируемых волн, должны приводить к правильной корпускулярной картине электромагнитного поля. Это значит, что энергия, импульс и проекция момента импульса электромагнитного поля должны быть равны сумме энергий, импульсов и проекций моментов импульса отдельных частиц, квантов электромагнитного поля — фотонов. Мы покажем, что эти условия будут выполнены, если амплитуды удовлетворяют перестановочным соотношениям:

где и в соответствии с вещественностью и равенством предполагается, что операторы , а также операторы эрмитово-сопряжены.

Из этих соотношений, представляющих собой условия квантования электромагнитного поля, вытекает прежде всего, что собственными значениями операторов являются целые положительные числа и нуль. Далее из них легко найти матричные элементы

Используя эти формулы, легко убедиться, что

где — собственная функция оператора

Формулы (2.3.3) и (2.3.4) относятся к . При первое из квантовых условий (2.3.2) можно переписать в виде , где — оператор, эрмитово-сопряженный по отношению к . Из этого условия следует, что

собственными значениями оператора являются целые положительные числа, включая нуль, а отличные от куля матричные элементы операторов равны

Обратим внимание на то, что при переходе от меняется роль операторов ведет себя не как , а как — как

Перейдем к нахождению возможных значений энергии и импульса электромагнитного поля. Определим операторы, соответствующие этим величинам. В классической электродинамике, используя разложение потенциалов на плоские волны, можно выразить энергию Н и импульс Р поля через амплитуды

Представляется естественным считать эти выражения, в которых принимает все четыре значения, определениями операторов энергии Н и импульса Р в квантовой электродинамике, понимая под не с - числа, а операторы, подчиняющиеся перестановочным соотношениям (2.3.2).

Введя в определение операторов энергии и импульса электромагнитного поля амплитуды соответствующие продольным и скалярным колебаниям, мы должны потребовать, чтобы эти колебания не вносили вклада в возможные значения энергии и импульса поля. В классической электродинамике это достигается дополнительным условием, накладываемым на потенциалы, в квантовой же электродинамике такое условие несовместимо с независимостью операторов

Дополнительное условие для квантованного поля можно сформулировать в виде условия, накладываемого не на операторы , а на векторы состояний электромагнитного поля Ф [5]. Именно, мы будем предполагать допустимыми только такие векторы состояний Ф, в применении к которым часть оператора содержащая положительные частоты (члены типа ), дает нуль. Обозначая эту часть оператора через запишем дополнительное условие в виде

или

откуда следует, что функция Ф при всех k должна удовлетворять условиям

    (2.3.6)

а следовательно, и условиям . Иными словами, функция Ф наряду с условием (2.3.5) удовлетворяет условию

где — часть оператора , содержащая отрицательные частоты (члены типа ).

Умножив скалярно дополнительное условие (2.3.5) слева на Ф, а сопряженное условие (2.3.7) справа на Ф, получим, сложив эти выражения,

где обозначает среднее значение оператора L в состоянии Ф.

Мы видим, что в квантовой электродинамике обращается в нуль не чего нельзя требовать, а среднее значение оператора — в состоянии Ф.

Из сформулированных условий следует, что

Именно благодаря этому соотношению исчезают средние значения тех частей операторов энергии и импульса, которые связаны с продольными и скалярными колебаниями, и мы можем рассматривать только поперечные колебания. Замечая, что и обозначая через JV. собственные значения оператора найдем возможные значения энергии и импульса электромагнитного поля:

Мы видим, что если отвлечься от несущественных бесконечных сумм , то энергия и импульс поля действительно выражаются в виде суммы энергий и импульсов отдельных частиц — фотонов, причем целое число представляет собой число фотонов с импульсом k и поляризацией

Энергия поля имеет наименьшее значение, когда числа фотонов равны нулю. Это наинизшее энергетическое состояние поля называется состоянием вакуума электромагнитного ноля.

Пусть электромагнитное поле содержит фотонов с импульсом к и поляризацией . Если — вектор состояния поля, то, согласно (2.3.4), действие сводится к увеличению числа фотонов на единицу, а действие с. — к уменьшению этого числа на единицу. Поэтому можно сказать, что с, представляет собой оператор испускания фотона с импульсом к и поляризацией поглощения такого же фотона. При роли с, и меняются: со представляет собой оператор испускания, а оператор поглощения «скалярного фотона».

Можно изменить интерпретацию операторов и рассматривать как оператор поглощения, а — как оператор испускания скалярного фотона, если при описании скалярных колебаний исходить не из обычного, а из обобщенного определения скалярного произведения векторов состояний, допускающего как положительную, так и отрицательную норму [6,7].

Будем по-прежнему исходить из условий квантования

где — оператор, эрмитово-сопряженный с оператором в обобщенном смысле. Однако в отличие от предыдущего, будем теперь считать все операторы операторами поглощения и все операторы — операторами испускания фотонов. Это значит, что мы предполагаем справедливыми соотношения , где — вектор состояния вакуума электромагнитного поля. Этот вектор предполагается нормированным на единицу,

Если на вектор состояния вакуума подействовать оператором то мы получим состояние поля, в котором содержится только один фотон t импульсом k и поляризацией Я:

Легко видеть, что эти соотношения при непосредственно приводят к индефинитной метрике для «скалярных фотонов». Действительно, определим норму вектора состояния поля, содержащего один скалярный фотои . Используя определение эрмитовского сопряжения перестановочные соотношения для и условие нормировки получим

Таким образом,

    (2.3.10)

т. е. норма вектора отрицательна.

Аналогично можно представить вектор состояния поля, содержащего фотоноа с импульсом к и поляризацией , в виде

Эти векторы удовлетворяют, как легко убедиться, условиям нормировки

Подействовав на операторами и используя перестановочные соотношения для получим

Мы видим, что представляют собой операторы поглощения, а — операторы испускания фотонов. Отсюда далее следует, что , т. е. собственные значения оператора равны

Используя разложение (2.3.1) и соотношения (2.2.11), легко определить матричные элементы оператора , соответствующие поглощению и испусканию фотона с импульсом k и поляризацией :

    (2.3.12)

(во второй формуле над поставлен знак комплексного сопря. жения, чтобы формулами можно было пользоваться не только в случае линейной, но и в случае круговой поляризации).