1.4.4. Разложение по сферическим волнам.

Мы построили две различные ортонормированные системы волновых функций электрона Произвольное решение уравнения Дирака может быть разложено по любой из этих систем,

где означает набор квантовых чисел или Если функции нормированы согласно условию

где V — нормировочный объем, то, очевидно,

В частности, можно разложить волновую функцию электрона с определенным импульсом и поляризацией по волновым функциям электрона с определенными моментом и четностью

где

    (1.4.13)

или произвести обратное разложение

где, очевидно,

Найдем коэффициенты разложения . Подставляя в (1.4.13)

и выражение для

получим

где — компоненты Фурье функций

Спиноры образуют, очевидно, волновую функцию электрона с определенными моментом и его проекцией в импульсном пространстве. Так как координаты и проекции импульса входят симметрично в перестановочные условия , то оператор орбитального момента в импульсном пространстве имеет ту же структуру, что и в координатном пространстве:

Поэтому будут пропорциональны тем же шаровым спинорам которые определяют угловую зависимость и но аргументом спиноров будет, естественно, а не . Легко показать, что

    (1.4.15)

Подставив эти формулы в (1.4.14), найдем :

    (1.4.16)

откуда следует, что разложение плоской волны на сферические волны имеет вид

где

При справедливо асимптотическое представление

Величина представляет собой амплитуду вероятности того, что электрон, находясь в состоянии с определенными энергией, моментом и четностью, имеет импульс и спиральность

Поэтому угловое распределение электронов в этом состоянии определяется формулой

где — элемент телесного угла, в котором лежит вектор .