4.3.4. Экранирование.

При вычислении сечения тормозного излучения мы считали поле ядра чисто кулоиовским. Такое предположение является правильным для расстояний от ядра меньших, чем радиус -оболочки атома. На больших расстояниях поле ядра частично или полностью экранируется полем атомных электронов, благодаря чему происходит уменьшение сечения тормозного излучения. Поэтому, для того чтобы выяснить, насколько правильны наши результаты, следует оценить ту область расстояний от ядра, которая является существенной в процессе тормозного излучения. Из вида интеграла, определяющего

компоненту Фурье кулоновского потенциала, следует, что главный вклад в интеграл вносят расстояния порядка

    (4.3.34)

Действительно, большие несущественны из-за сильно осциллирующей функции , а малые — из-за малости соответствующего объема Поэтому можно считать, что определяет по порядку величины наиболее существенные значения прицельного параметра. С другой стороны, как показывает формула (4.3.7), дифференциальное сечение, тормозного излучения особенно велико при малых q, которым, согласно (4.3.34), соответствуют большие значения прицельного параметра. Очевидно, эффект экранирования не будет играть роли, если максимальное значение соответствующее минимальному значению q, будет значительно меньше эффективных размеров атома а. Напротив, при выполнении неравенства должно иметь полное экранирование кулоновского поля ядра.

Минимальное значение q равно, очевидно, , где связаны соотношением

При малых энергиях и малых частотах

В крайне релятивистской области

Таким образом, максимальное значение определяется формулами

    (4.3.35)

из которых следует, что при достаточно малых частотах может превышать размеры атома. Иначе говоря, при всегда наступает полное экранирование, приводящее к значительному уменьшению сечения тормозного излучения. В частности, при величина будет конечной, в отличие от случая чисто кулоновского поля, когда эта величина логарифмически расходится.

В релятивистской области может быть большим и при частотах порядка первичной энергии электрона. Действительно, если то

Если пользоваться моделью атома Томаса—Ферми и считать эффективный радиус атома равным , где радиус атма водорода, то при энергии электрона, превосходящей

величина будет больше а. Поэтому в области больших энергий всегда необходим учет экранирования.

Чтобы учесть экранирование поля ядра внешними электронами, нужно определить компоненту Фурье суммарного потенциала, создаваемого как зарядом ядра, так и зарядом электронов. Этот потенциал удовлетворяет уравнению

где — плотность заряда, — плотность электронов в атоме. Переходя к компонентам Фурье, получим, очевидно,

    (4.3.36)

где — атомный формфактор;

Рис. 4.5.

Мы видим, таким образом, что для учета экранирования нужно заменить Z на . В модели Томаса—Ферми

    (4.3.37)

где — некоторая универсальная функция, одинаковая для всех атомов, значения которой могут быть определены с помощью численного интегрирования. Вводя атомный форм-фактор в модели Томаса — Ферми, можно представить спектр излучения в релятивистской области в следующем виде [11]:

где

    (4.3.38)

- функции от , изображенные на рис. 4.5. Величина определяет эффект экранирования. Малые соответствуют большому экранированию, а большие — малому экранированию. Если , то можно говорить о полном экранировании; в этом случае

и сечение (4.3.38) приобретает вид

Сечение тормозного излучения в этих условиях при заданном отношении не зависит от первичной энергии электрона При больших этот вывод становится неправильным.

При эффект экранирования не играет роли. Малая поправка, вносимая им, может быть учтена, если заменить в формуле (4.3.33) в последней скобке слагаемое на значения приведены в таблице.

На рис. 4.6 представлена зависимость интенсивности тормозного излучения от отношения энергии фотона к кинетической энергии электрона [11].

Рис. 4.6.

Пунктирные кривые не учитывают экранирования и справедливы для всех элементов (заряд ядра содержится только в величине Ф). Рядом с кривыми указаны начальное энергии в единицах . Сплошные

кривые учитывают экранирование и относятся к свинцу, Z = 82 (кроме сплошной кривой которая относится к алюминию). Они приближаются в области малых частот к кривой , относящейся к случаю полного экранирования-Нерелятивистская кривая для алюминия построена с учетом точных волновых функций электрона для сплошного спектра (см. п. 4.3.7). Мы видим, что для легких элементов в нерелятивистской области экранирование мало существенно.

Заметим, что применение борновского приближения, которым мы пользовались, может приводить к ошибке в случае больших Z не только в нерелятивистской области. Это связано с тем, что параметр в области больших энергий и больших Z не мал, а равен . Отклонение от борновского приближения в релятивистской области заметно только при больших значениях q, для которых экранирование не играет роли. Поэтому поправки к сечению тормозного излучения, обусловленные отклонением от борновского приближения и эффектом экранирования, просто складываются (см. п. 4.3.6).