3.5.2. Эффективные линии.

Рассмотрим какую-либо диаграмму, содержащую внутреннюю электронную линию. В высших приближениях появятся, очевидно, диаграммы со всевозможными ЭСЭД, включенными в эту линию. Всю совокупность таких диаграмм (вместе с исходной электронной линией) мы будем графически изображать в виде сплошной жирной линии и называть ее эффективной электронной линией. Величина, соответствующая этой линии, называется электронной функцией Грина и обозначается через или , где — 4-импульс электронной линии (величина ) содержит, так же как и , два спинорных индекса , которые мы обычно будем опускать).

Рис. 3.15.

На рис. 3.16 изображены несколько первых диаграмм, соответствующих эффективной электронной линии. Из этого рисунка следует, очевидно, что

или сокращенно, опуская спинорные индексы, можно написать

где — сумма величин, соответствующих всем возможным ЭСЭД — как компактным, так и некомпактным — с данным импульсом . Эта сумма (представляющая собой спин-тензор второго ранга) называется электронной собственно энергетической функцией.

Рис. 3.16.

Аналогичным образом можно определить эффективную фотонную линию как внутреннюю фотонную линию со всевозможными включенными в нее ФСЭД. Мы будем графически изображать ее в виде жирной пунктирной линии. Величина, соответствующая этой линии, называется фотонной функцией Грина и обозначается через или , где k — 4-импульс фотонной линии (величина ), так же как и содержит два тензорных индекса которые мы будем часто опускать).

Из рис. 3.17, на котором изображены несколько первых диаграмм, соответствующих эффективной фотонной линии, следует, что

сокращенно, опуская тензорные индексы, запишем эту формулу

в виде

где — сумма величин, соответствующих всем возможным ФСЭД — как компактным, так и некомпактным — с данным импульсом к. Эта сумма (представляющая собой тензор второго ранга) называется фотонной собственно энергетической функцией.

Рис. 3.17.

Введение эффективных электронных и фотонных линий позволяет, очевидно, не рассматривать некомпактные вершинные диаграммы. Действительно, некомпактные вершинные диаграммы представляют собой совокупности компактных вершинных диаграмм и эффективных электронных и фотонных линий. Поэтому в дальнейшем под вершинными диаграммами всегда будут подразумеваться компактные вершинные диаграммы.

Если образовать сумму величин, соответствующих всем возможным компактным вершинным диаграммам с заданными импульсами и к выходящих электронных и фотонной линий, то мы получим вершинную функцию, которую будем обозначать через , где — векторный и а, — спинорные индексы. На диаграммах вершинная функция изображается в виде жирной точки, которая называется эффективной вершиной. Так как в силу законов сохранения -импульса то в числе аргументов может быть онущен импульс фотонной линии (мы будем обычно также опускать спинорные индексы .

Рис. 3.18.

Рис. 3.19.

Наряду с эффективными внутренними электронными и фотонными линиями мы должны ввести в рассмотрение также эффективные внешние электронные и фотонные линии, представляющие собой внешние электронные и фотонные линии со включенными в них всеми возможными собственно энергетическими диаграммами.

Величину, соответствующую внешней эффективной электронной линии с импульсом , мы будем обозначать через . Эта величина, так же как и , является биспинором и может быть, согласно рис. 3.18, представлена в виде

(спинорные индексы опущены).

Аналогичное равенство может быть написано (рис. 3.19) для величины , соответствующей эффективной внешней фотонной линии с импульсом k:

Внешние линии служат, как мы знаем, для изображения реальных частиц. Выражаясь более точно, можно сказать, что они служат для изображения матричных элементов операторов полей, связывающих состояние вакуума с состояниями, в которых присутствует один фотон или один электрон (позитрон).

Рис. 3.20.

Поэтому обычным внешним линиям мы сопоставляли величины , являющиеся матричными элементами операторов свободных полей эффективным же электронной и фотонной линиям мы должны сопоставить матричные элементы операторов взаимодействующих полей . Матричные элементы этих операторов, связывающие состояние вакуума с одночастичными состояниями, только некоторыми множителями отличаются от матричных элементов и для свободных полей:

    (3.5.3)

Эти важные соотношения, к которым мы еще вернемся в § 3.6 показывают, что вместо эффективных внешних линий достаточно рассматривать обычные внешние линии (без собственно энергетических вставок), вводя при этом в элемент матрицы рассеяния на каждую внешнюю электронную линию множитель и на каждую внешнюю фотонную линию — множитель

Используя понятия эффективных линий и эффективных вершин, можно заменить сложные анаграммы, встречающиеся при рассмотрении высших приближении, эффективными — скелетными

диаграммами, которые представляют собой неприводимые диаграммы с эффективными линиями и эффективными вершинами вместо обычных линий и обычных вершин.

Рассмотрим в качестве примера диаграммы комптон-эффекта, изображенные на рис. 3.20. Совокупность этих диаграмм сводится к одной эффективной скелетной диаграмме, изображенной на рис. 3.21. Этой диаграмме соответствует, очевидно, величина

Рис. 3.21.

Если иметь выражения для точностью до членов второго порядка по , то достаточно подставить их в отбросив в произведении члены, содержащие и мы получим сумму величин, соответствующих диаграммам рис. 3.20.

Мы видим, таким образом, что возникает задача нахождения электронной и фотонной функций Грина и вершинной функции