1.2.5. Релятивистская инвариантность уравнения Дирака.

Докажем теперь релятивистскую инвариантность уравнения Дирака, т. е. инвариантность по отношению к преобразованиям собственной группы Лоренца, инверсии и обращению времени.

Начнем с собственных преобразований Лоренца. Утверждение об инвариантности уравнений (1.2.1) относительно собственных преобразований Лоренца означает, что для каждого собственного преобразования Лоренца и соответственно преобразования 4-импульса и 4-потенциала

    (1.2.20)

можно найти такое линейное преобразование волновой функции электрона

    (1.2.21)

где некоторая четырехрядная неособенная матрица, являющаяся функцией матрицы а, при котором будут удовлетворять уравнениям, имеющим такой же вид, как и исходные уравнения:

    (1.2.22)

Докажем, что такое преобразование существует. Подставим для этого (1.2.21) в первое уравнение (1.2.22) и умножим его слева на Учитывая (1.2.20), получим

Это уравнение должно совпадать с исходным уравнением Дирака для причем необходимо выполнение условий

    (1.2.23)

где

Чтобы убедиться в существовании матрицы S, удовлетворяющей этим условиям, достаточно заметить, что матрицы удовлетворяют перестановочным соотношениям матриц Дирака, . Отсюда, согласно основной теореме о матрицах Дирака, следует, что существует преобразование подобия, связывающее матрицы и каковым и является соотношение (1.2.23).

Легко видеть, что при преобразовании (1.2.21) биспинор преобразуется согласно закону

    (1.2.24)

Действительно, подставляя это выражение во второе уравнение (1.2.22) и умножая его слева на , мы придем к исходному

уравнению для если выполняются условия которые тождественны условиям (1.2.23).

Учтем теперь, что функции связаны между собой так же, как и функции Подставляя сюда (1.2.21) и (1.2.24), получим откуда

    (1.2.25)

Этому условию, помимо соотношений (1.2.23), должна удовлетворять матрица

Найдем явный вид матрицы S. Рассмотрим сперва бесконечно малое собственное преобразование Лоренца . Ему соответствует преобразование (1.2.23), бесконечно мало отличающееся от единичного:

    (1.2.26)

где — так называемые инфинитезимальные операторы преобразования. Подставляя (1.2.26) в получим

    (1.2.27)

Этим соотношениям можно удовлетворить, положив

При этом будет удовлетворено также условие (1.2.25).

Зная инфинитезимальные операторы легко найти вид матрицы S, соответствующей произвольному собственному преобразованию Лоренца

Рассмотрим два типа преобразований, входящих в собственную группу Лоренца: преобразования пространственного поворота и преобразования, связывающие различные инерциальные системы отсчета. В случае бесконечно малого пространственного поворота, очевидно, , где — бесконечно малый угол поворота системы координат, и матрица соответствующая этому повороту, имеет вид

    (1.2.29)

Пусть теперь происходит вращение вокруг заданной оси, направление которой характеризуется единичным вектором , на конечный угол . Так как при этом вращения на различные углы независимы, то

откуда

и, следовательно,

Эта формула показывает, что матрицу можно интерпретировать как оператор спина электрона.

Из (1.2.31), (1.2.30) следует, что спиноры , образующие биспинор преобразуются при вращениях независимо друг от друга по одинаковому закону.

Обратим внимание на то, что в входит половинный угол вращения. Благодаря этому при вращении на угол преобразованная волновая функция отличается знаком от исходной, . Это обстоятельство связано со спинориым характером функции

Рассмотрим теперь преобразования Лоренца, связывающие различные инерциальные системы отсчета. Если относительное движение систем происходит вдоль оси то такие преобразования можно рассматривать как вращения в плоскости с мнимым углом вращения где — относительная скорость систем. При этом будут отличны от нуля только две компоненты, и, следовательно, бесконечно малое преобразование волновой функции будет иметь вид

Если движение происходит не вдоль оси а вдоль произвольного направления, характеризуемого единичным вектором , то это выражение должно быть заменено на

Отсюда, повторяя рассуждения, приводящие к (1.2.31), легко получить формулу для S в случае конечного поворота на угол :

    (1.2.32)

где

Так как матрицы а. в представлении недиагональны (в смысле разбиения на двумерные матрицы), то спиноры в выражении (1.1.6) для биспинора преобразуются при лоренцевых преобразованиях (1.2.32) не независимо друг от друга; иначе говоря, каждый из этих спиноров в отдельности не является релятивистски ковариантпон величиной. Если, однако, выбрать представление матриц Дирака в виде (1.2.10)

то спиноры , образующие преобразованный при унитарном преобразовании (3.2.9) биспинор будут при лоренцевых преобразованиях (1.2.32) преобразовываться независимо друг от друга.