2.5.4. Хронологическое и нормальное произведения операторов электронного поля.

В п. 2.3.3 мы изучали определенным об разом упорядоченные — хронологические и нормальные — произ

ведения операторов потенциалов электромагнитного поля. Аналогичные произведения можно определить также и для операторов электронно-позитронного поля. Рассмотрим сначала хронологическое произведение (или Т - произведение) операторов электронного поля.

Если — какие-либо две компоненты операторов поля , то их хронологическое произведение определяется как

Отметим, что в отличие от хронологического произведения операторов электромагнитного поля это хронологическое произведение меняет знак при перестановке операторов что находится в соответствии с разными условиями коммутации электромагнитного и электронного полей.

Хронологическое произведение произвольного числа компонент поля определяется формулой

где операторы расставлены в хронологическом порядке, т. е. так, что равно +1 или —1 в зависимости от того, является ли перестановка четной или нечетной.

Легко видеть, что определение хронологического произведения операторов поля релятивистски инвариантно.

Рассмотрим теперь нормальное произведение (или -произведение) операторов элекуронного поля, в котором операторы рождения стоят слева от операторов уничтожения частиц. Если каждый из операторов содержит только операторы рождения или только операторы уничтожения частиц, то -произведение определяется соотношением

    (2.5.24)

где операторы представляют собой те же операторы только расположенные таким образом, что операторы рождения стоят слева от операторов поглощения частиц, и равно +1 или —1 в зависимости от того, является ли перестановка четной или нечетной.

В общем случае, когда операторы содержат как операторы рождения, так и операторы уничтожения частиц, для нахождения нормального произведения нужно каждый из операторов представить в виде суммы , где содержит только операторы рождения, а только операторы поглощения, и,

записав -произведение в виде суммы

воспользоваться далее формулой (2.5.24). Разность между хронологическим и нормальным произведениями операторов электронного поля, которую мы будем называть связью или сверткой этих операторов, не содержит, так же как и в случае электромагнитного поля, операторов поглощения и испускания частиц, т. е. представляет собой с-число. Легко убедиться, что

    (2.5.25)

где

— функции, определяемые формулами (2.5.18); остальные связи равны нулю:

В отсутствие внешнего электромагнитного поля функция зависящая только от разности аргументов, может быть, согласно (2.5.21), представлена в виде

или сокращенно

где и

    (2.5.26)

Из сравнения (2.5.19) и (2.5.21) следует, что

Применив к уравнению (2.5.26) оператор и учитывая, что

получим

    (2.5.29)

является функцией Грина уравнений Дирака для свободного электрона. Таким же свойством обладает функция для уравнений Дирака при наличии постоянного внешнего электромагнитного поля.

Функцию можно представить в виде, аналогичном (2.3.33):

Отсюда, используя (2.5.26), можно найти аналогичное представление

    (2.5.30)

где интегрирование по совершается вдоль контура С, изображенного на рис. 2.1. Контур интегрирования можно совместить с вещественной осью, произведя при этом замену . Учитывая это, мы будем записывать формулу (2.5.30) в виде

Используя результаты п. 2.5.2, легко убедиться, что среднее значение любого -произведеиия операторов полей в состоянии вакуума равно нулю:

    (2.5.33)

Отсюда следует, что

    (2.5.34)

т. е. среднее значение хронологического произведения двух операторов полей равно связи между этими операторами.

Легко показать, что оператор плотности электрического тока, определяемый формулой (2.5.7), можно представить в виде нормального произведения

    (2.5.35)