1.5.5. Критический заряд ядра.

Полагая в (1.5.18) , найдем энергию основного состояния:

При эта величина обращается в нуль, а при становится мнимой. Однако такой вывод не имеет непосредственного физического смысла, так как он относится к идеальному кулоновскому полю точечного заряда. Учет же конечности ядра коренным образом меняет ситуацию. В этом случае связанные состояния могут существовать и при [18, 19]. С ростом Z низший уровень понижается и, как это имело место в примере, разобранном в п. 1.5.2, достигает значения, равного при некотором критическом значении . Покажем, как найти величину .

При волновые функции определяются выражениями (1.5.13), а выражаются через вырожденные гипергеометрические функции аналогично (1.5.16) и (1.5.17). Однако теперь необходимо учитывать оба знака величины . Поэтому будут иметь вид

    (1.5.23)

Коэффициенты перед функциями в (1.5.22) подобраны так, чтобы не содержало члена, экспоненциально растущего на бесконечности, с — нормировочная константа.

Сшивая отношение на границе ядра при получим условие, определяющее уровни энергии электрона в рассматриваемом потенциале:

где — отношение функций описывающих электрон внутри ядра.

Рассмотрим подробнее случай, когда величина становится чисто мнимой, т. е. когда Считая,

что , получим из (1.6.22)- (1.6.24):

    (1.6.26)

Полагая здесь и используя формулу Стирлинга для асимптотики Г-функции, получим уравнение, определяющее

Будем предполагать теперь, что яма внутри ядра имеет прямоугольную форму, Тогда для основного состояния величина при будет равна, согласно п. 1.5.2,

Используя это выражение, получим из (1.5.26) следующее уравнение для определения

    (1.5.27)

Минимальное значение соответствует значению Численные расчеты показывают, что при

При электронный уровень достигает значения . Если же , то в поле ядра образуются электронно-позитронные пары. При этом возникает ситуация, аналогичная ситуации, рассмотренной в п. 1.5.2.

Рис. 1.3.

Уравнение (1.5.25), так же как и уравнение (1.5.11), будет иметь теперь комплексные корни, причем удвоенная мнимая часть энергетического уровня будет определять вероятность образования пары в поле ядра с .

Эту зероятность можно. оценить, используя квазиклассическое приближение. На рис. 1.3 схематически изображены верхний и нижний континуумы, деформированные полем ядра при (жирной линией изображен профиль потенциальной энергии).

Мы видим, что энергетическое состояние с энергией в принадлежит одновременно как верхнему, так и нижнему континуумам. Поэтому электрон с энергией в из занятого нижнего континуума может перейти в верхний континуум. Такому переходу соответствует образование электронно-позитронной пары (освобожденное состояние будет вести себя как позитрон). Вероятность перехода определяется формулой

где - — корни уравнения (мы пренебрегли влиянием центробежного барьера). При получим отсюда

    (1.5.28)

Как мы видели, если , то . В этом случае

и формула (1.5.28) приобретает вид

где a и b — некоторые константы. Мы видим, что вероятность образования пары экспоненциально убывает при .