АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ РАВНОМЕРНАЯ (чебышевская)

— аппроксимация функций под условием минимизации равномерной нормы отклонения. В отличие от аппроксимации функции среднеквадратичной, задача А. ф. р. допускает точное прямое (без итераций) решение лишь в немногих замечательных, но сугубо частных случаях, известных со времени работ рус. математика П. Л. Чебышева (1821—94) и его ближайших последователей. В более общей постановке она требует привлечения итеративных численных методов А. ф. р.; разработка таких методов приобрела определенную значимость в связи с развитием совр. вычисл. техники (ЭЦВМ).

Одна из важнейших задач А. ф. р. заключается в нахождении набора коэфф. многочлена кпхп, удовлетворяющего требованию минимакса:

где — непрерывная ф-ция, заданная на отрезке а

Согласно теореме Чебышева, переформулированной по Кирхбергеру и Валле Пуссену, единственное решение задачи (1) совпадает с решением формулируемой аналогично (1) некоторой (дискретной — интерполяционной в обобщенном понимании) «элементарной» задачи А. ф. р. вида

где означает такое точечное подмн-во , для которого величина (зависящая от выбора X) имеет наибольшее возможное значение, точно совпадающее с Построение многочлена решения задачи (2) при данном выборе X, выполняется с использованием ньютонова обыкновенного интерполяционного аппарата разделенных разностей, по данным:

Из условий всегда совместных, одно служит для контроля вычислений.

Осн. метод последовательных чебышевских интерполяций (ПЧИ) для А. ф. р. в применении к общей задаче (1) заключается в целесообразно организованном процессе последовательного построения (по схеме решений задач типа (2) с повышающего действия»), причем имеет место равномерная сходимость процесса достаточно быстрой реализацией, при двух осн. предельных соотношений:

При этом набор составляется из точек знакочередующихся экстремумов отклонения Рекомендуемый состав исходного набора:

Аналогично формулируется этот метод и при возможной дискретизации самой задачи (1), с заменой отрезка некоторой заданной на нем N-точечной сеткой причем для упрощения программы числ. реализации решения на ЭЦВМ переход от X к иногда обусловливается требованием замены лишь одной из точек, с включением в точки абсолютного максимума по функции . В любом варианте метода ПЧИ на каждом шаге получается попутно оценка достигнутой степени точности на основе установления верхней границы для .

Разработанный для той же задачи (1) также сходящийся, но менее стандартизованный метод (метод понижающего действия), явно основан на принципе монотонности: Сходные методы одного и другого принципа действия применимы и при замене алгебр, многочленов тригонометрическими или, более общо, квазиполиномами

к.-н. «Т-системы» ф-ций , т. е. системы линейно независимых и непрерывных ф-ций удовлетворяющих следующему условию Хаара: определитель порядка не должен обращаться в нуль ни для какого набора различных между собой точек на . В случае же нехааровских систем в частности, многомерных при возможной многозначности решения задачи А. ф. р. вопрос Обычно заключается в нахождении одного из искомых наборов где мн-во заведомо выпукло. Непрерывную область аппроксимации В здесь приходится, вообще, замещать подмн-вом точек некоторой сетки BN, а применимые к дискретизированной т. о. задаче равномерной А. ф. р. (равносильной задаче А. ф. р. для системы несовместных линейных ур-ний) употребительные методы повышающего и понижающего действия оказываются сводимыми к двум взаимно двойственным вариантам симплекс-метода для программирования линейного (ПЛ).

Выше были рассмотрены задачи А. ф. р. с линейно входящими параметрами (аппроксимации многочленами либо квазимногочленами ). Для этих задач в наибольшей мере разработаны вычисл. методы построения решений, а также критерии характеризации точных решений и оценки прибл. решений. В случае А. ф. р. многочленами Т-систем для точных решений имеет место классический критерий чебышевского альтернанса: разность должна в точках резка принимать наибольшие по величине значения с чередованием знаков. В случае же систем нехааровских одномерных задачах, в задачах многомерных) имеет место не столь непосредственнонаглядное, но сохраняющее эффективный характер обобщение в форме критерия квазиальтернанса. Этот критерий связан со следующим нехааровским аналогом теоремы Чебышева, который в своем существенном содержании в точности сохраняет силу и для многомерных задач А. ф. р., но для большей простоты его можно сформулировать здесь для случая одномерного всякое решение задачи А. ф. р. формального типа (1), но с заменой на квазиполином нехааровской системы является также решением аналогичной «элементарной» задачи А. ф. р., получаемой при замене отрезка некоторым его (заранее неизвестным) минимальным по своему составу -точечным подмн-вом где а знаки указанных отклонений совпадают со знаками (не обязательно чередующимися, в ином случае — даже одинаковыми между собой) коэфф. «элементарной» линейной зависимости между выражениями , рассматриваемыми как линейные формы от Применение этого критерия квазиальтернанса существенно эффективизируется при дискретизации задачи А. ф. р. (с использованием сетки BN с

С теоремой о чебышевском альтернансе и ее обобщением близко связан восходящий (в полиномиальном одномерном случае) к Валле Пуссену (1910) вопрос установления нижней границы для минимаксного уклонения а, значит, и верхней границы для что непосредственно доставляет критерий строгой оценки точности прибл. реализации (К) решения рассматриваемых задач А. ф. р.

Для задач А. ф. р. посредством выражений с нелинейно входящими параметрами отметим, что в случае важной задачи А. ф. р. для посредством рациональной дроби осн. употребительный подход заключается в распространении метода ПЧИ. Метод сохраняет свою эффективность, хотя здесь приходится особо учитывать случай сократимости искомой дроби и, кроме того, возможность «осечек» при неблагоприятном выборе интерполяционных подмн-в . К обобщающеблизкой, но более деликатной по своей природе задаче А. ф. р. посредством частного двух квазиполиномов, при замещении области аппроксимации В (возможно и многомерной) сеткой BN, можно применять сравнительно трудоемкий, но безотказно действующий метод линейных неравенств — метод проб для взятия вилку (с использованием аппаратов ПЛ). В более общих случаях нелинейных задач А. ф. р. находят применение опять таки при сеточнойдискретизации области аппроксимации различные приемы последовательной дифференциальной линеаризации по параметрам

При А. ф. р. большое значение имеет выбор вида аппроксимирующего выражения . При конкретизации вида должны учитываться в надлежащих случаях функциональные соотношения, которым удовлетворяет нечетность и т. п.), а в случае бесконечного интервала — асимптотическое поведение при Напр., аппроксимируя при ф-цию в классе дробей и учитывая функциональное соотношение естественно, вместо общего вида

указанной дроби, исходить из

с сокращением более чем вдвое числа требуемых параметров.

При А. ф. р. в общей форме, такой, как или одним из существенных параметров является само число желательное значение которого должно соответствовать возможно более экономному выполнению требования вида либо при заданном . В случае формы предварительное взятие в вилку значения можно выполнять зондированием посредством проб, использующим аппараты ПЛ с заменой отрезка сеткой . В случае формы предполагая для большей простоты формулировок для прибл. определения гаможно использовать последовательность коэфф. разложения в ряд по многочленам Чебышева (условие ) или, что то же, коэфф. разложения и в тригонометрический косинус — ряд. При регулярной аналитичности эквивалентные результаты быстрее получаются некоторым способом последовательного «сворачивания» степенного разложения Заметим, что подобные, применяемые для предварительного онределения геспособы зондажа сами по себе могут доставлять приближения соответствующего типа, для которых уклонение оказывается (по критериям строгой оценки) подчас довольно близким к искомому чебышевскому минимаксу; такие «околоминимаксные» иногда используются в спорадическом программировании для ЭЦВМ, взамен более трудоемкого итеративного построения чебышевских .

При полиномиальной аппроксимации ф-ции более или менее регулярной структуры, для облегчения ориентировочной прикидки близкого к газначения можно использовать и априорные оценки верхних границ значений типа известных оценок (1912) Бернштейна и Джексона.

Приведем примеры такого рода оценочных теорем.

1. Если существует внутри ограниченная производная причем тогда

2. Если существует на непрерывная то для каждого

где

2. Оценочной соответствует сходного типа более точная и изящная в случае аппроксимации посредством

периодической с непрерывной

Входящий в (9) коэфф. с явное выражение которого (несколько сложного вида) было найдено в 1937, является, для заданного , наилучшим возможным.

3. Если аналитическая ф-ция регулярная внутри эллипса комплексной плоскости с фокусами в точках и с полусуммой осей R, непрерывна и на контуре этого эллипса, то для ф-ции действительного переменного на отрезке при любом натуральном

где на контуре эллипса.

В случае использования А. ф. р. вида или при составлении библиотеки стандартных подпрограмм ввода ф-ций в ЭЦВМ, необходимо иметь в виду целесообразное в некоторых случаях видоизменение постановки вопроса, с подразделением на несколько частных интервалов и с реализацией А. ф. р. указанного типа раздельно для каждого Стыки надо при этом выбирать под условием приблизительного равенства частных минимаксных уклонений на Хотя применение таких кусочных потребует хранения в памяти машины несколько большего к-ва коэфф., но требуемую точность можно обеспечить при меньших значениях ощутимой подчас экономией машинного времени при использовании подпрограммы.

Наряду с подобными кусочно полиномиальными и в последние годы предметом многочисленных

исследований стали (допускающие различные обобщения) п. сращенно-полино-миальные вида

где символ означает при и 0 при Эти в общем случае) в качестве инструмента А. ф. р. по своей точности занимают промежуточное положение между соответствующими п. полиномиальными и кусочно-полиномиальными (ближе к первым), но, помимо сжатости аналитического выражения они обнаруживают (при нечетности и при ) еще замечательные интерполяционные свойства с интересными приложениями к аппроксимации линейных функционалов. Если специализировать вышесказанное при получится кусочно-линейная и, соотв., полигональная аппроксимация, нередко применяемая в инженерно-тех. практике. При наилучшая в указанном выше смысле, кусочно-линейная аппроксимация оказывается точно совпадающей с наилучшей сплайн-аппроксимацией

Лит.: Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М., 1965 [библиогр. с. 397—403]; Ремез Б Я. Основы численных методов чебышевско-го приближения К., 1969 [библиогр. с. 613—623]; Ремез Б. Я. К вопросу построения чебышевских приближений дробно-рационального и некоторых родственных типов. «Украинский математический журнал», 1963, т. 15, 4; Ремез Б. Я. Некоторые вопросы численного построения решений задач чебышевского приближения. В кн.: Труды четвертого всесоюзного математического съезда, т. 2. Л., 1964; Олександренко В. Л., Порханова А. О. Побудова .