189. Вещественные многочлены.

Рассмотрим теперь многочлен с вещественными коэффициентами:

и пусть этот многочлен имеет комплексный корень кратности т. е.

Заменим теперь в выражении и в производных все величины сопряженными. При этой замене коэффициенты как числа вещественные, останутся прежними и лишь перейдет в , т. е. многочлен останется прежним, но вместо в него будет подставлено После замены комплексных чисел сопряженными, как известно [173], и общий результат, т. е. значение многочлена, переходит в сопряженное. Таким образом получим

т. е. если многочлен с вещественными коэффициентами имеет комплексный корень кратности k, то он должен иметь и сопряженный корень той же кратности.

Итак, комплексные корни многочлена с вещественными коэффициентами распределяются по парам сопряженных корней. Положим, что переменная z принимает лишь вещественные значения, и обозначим ее буквою Согласно формуле (3)

Если среди корней z будут комплексные, то соответствующие им множители также будут комплексными. Перемножив попарно множители, соответствующие паре сопряженных корней, получим

где

Таким образом, пара комплексных сопряженных корней дает вещественный множитель второй степени, и мы можем высказать следующее положение: многочлен с вещественными коэффициентами разлагается на вещественные множители первой и второй степени. Разложение это имеет следующий вид:

где вещественные корни кратности и множители второй степени происходят от пар комплексных сопряженных корней кратности