Главная > Курс высшей математики, Т.2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

89. Несобственные кратные интегралы.

Переходим теперь к рассмотрению несобственных кратных интегралов и начнем с двойных интегралов. Как и выше, несобственные интегралы могут быть двух типов: или подынтегральная функция становится неограниченной, или сама область интегрирования неограничена. Остановимся сначала на первом случае. Пусть непрерывна в конечной области (а) за исключением точки С, в окрестности которой не ограничена. Пусть (А) — малая область, содержащая С внутри себя. Исключим из (а) ту ее часть, которая принадлежит , а оставшуюся часть обозначим Существует интеграл

Если при беспредельном сужении к точке С этот интеграл стремится к определенному пределу, не зависящему от того, каким именно образом сужается к С, то этот предел и называют несобственным интегралом от по (а) (С может быть и на границе ):

Дальше будем считать (это не существенно), что пробегает пронумерованную последовательность сжимающуюся к С. Точнее говоря: С лежит внутри всех причем принадлежит при любом принадлежит кругу с центром С и радиусом причем при

Положим сначала, что При этом последовательность чисел

не убывает при возрастании и, следовательно, или имеет некоторый конечный предел , или стремится к Покажем, что тоже будет иметь место и для всякой другой последовательности областей, сужающихся к С:

Пусть . При этом и при любом заданном существует такое целое положительное N, что при . Рассмотрим какое-либо . (Существует, очевидно, такое что ) принадлежит так что т.е. при всех . Далее, существует такое N, что при принадлежит и при имеем , откуда и следует, что при .

Совершенно аналогично доказывается, что если для одной ил последовательностей имеем то и для всякой другой последовательности. В первом случае, т. е. если для некоторой последовательности то интеграл по (а) сходится и его величина равна а во втором случае расходится.

Если в окрестности С, то, вынося минус за знак интеграла, придем к предыдущему случаю. Положим теперь, что бывает разных знаков. В этом случае мы будем рассматривать только абсолютно сходящиеся интегралы, т. е. такие интегралы, что

имеет смысл, т. е. сходится. В нем подынтегральная функция уже неотрицательна, и к нему применимы предыдущие замечания. В частности, из этих замечаний следует, что если дне положительные функции, и интеграл от сходится, то интеграл и подавно сходится. Пашу функцию можно представить в виде разности двух положительных функций: Интеграл (в 1) по условию сходится. Тем самым сходится интеграл от функций . Функция равна в тех точках, где и равна нулю, где , т. е. положительная функция следовательно, интеграл от нее тоже сходится. Но тогда сходится и интеграл разности т. е. от Итак, если интеграл (61) сходится, то сходится и интеграл от

Укажем одно достаточное условие сходимости интеграла (61): если в окрестности точки С функция удовлетворяет условию где — расстояние от С до переменной точки — постоянные и то интеграл (61) сходится.

Доказательство этого условия такое же, что и приведенное далее доказательство аналогичного условия для случая неограниченной области интегрирования.

Совершенно аналогичным образом определяется несобственный трехкратный интеграл по конечной области если становится неограниченной в окрестности некоторой точки С, и все предыдущие рассуждения годятся и для такого интеграла. Только высказанное выше достаточное условие абсолютной сходимости интеграла в данном случае формулируется так: если в окрестности тонки С функция удовлетворяет условию , где — расстояние от переменной тонки постоянные и , то интеграл

абсолютно сходится. В данном случае условие заменяется условием так как в полярных координатах в пространстве элемент объема имеет выражение вместо в .

Рассмотрим теперь тот случай, когда область интегрирования простирается в бесконечность во всех направлениях или просто неограничена. Пусть конечная область, содержащаяся в и беспредельно расширяющаяся таким образом, что всякая точка М области попадает, начиная с некоторого этапа расширения, в . Считая непрерывной в , может составить интеграл

Если при беспредельном расширении этот интеграл стремится к определенному пределу, не зависящему от того, каким образом расширяется, то этот предел и называют интегралом от по бесконечной области :

Если для всех достаточно далеких точек М, то интеграл (63) при расширении или имеет определенный предел, или беспредельно возрастает. Для первого случая характерным является тот факт, что интеграл по любой области или даже по конечному числу любых областей, принадлежащих и лежащих вне круга с центром в начале и некоторым радиусом остается ограниченным (при этом он будет стремиться к нулю, если ). Обозначим через (а) совокупность вышеупомянутых областей. Отметим еще, что из определения несобственного интеграла следует, что, если сходится интеграл

то интеграл (64) также сходится. Он называется в этом случае абсолютно сходящимся, и только такие интегралы мы и рассматриваем. Нетрудно доказать следующее достаточное условие сходимости: если для всех достаточно удаленных точек М функция удовлетворяет условию , где — расстояние от любой фиксированной точки (начала) до переменной точки , то интеграл (64) сходится. Пользуясь написанным неравенством и вводя полярные координаты, получим

Совокупность областей обязательно содержится в кольце, ограниченном окружностями , где R может быть сколь угодно большим. Интегрируя но всему кольцу, получим

Принимая во внимание, что получим искомую оценку интеграла по

что и доказывает высказанное выше утверждение. При достаточно большом интеграл по (а) будет сколь угодно малым.

Аналогично определяется несобственный тройной интеграл по бесконечной области. В последней теореме для тройного интеграла условие надо заменить условием Заметим еще, что сказанное выше о несобственных двойных интегралах в случае, когда обращается в бесконечность, применимо и к несобственным интегралам, распространенным по поверхности. Такие интегралы сводятся, как мы видели, к интегралам но плоскости (66).

Мы рассматривали только абсолютно сходящиеся несобственные интегралы. Но имеет место следующая важная теорема: если несобственный интеграл сходится, то он и абсолютно сходится (см. Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», т. III). Она относится ко всем упомянутым выше несобственным интегралам. Для случая двойных интегралов из сходимости интеграла (60) следует сходимость интеграла (61) и из сходимости (61) Следует сходимость (65).

Если то для несобственных интегралов неважно, каким образом стягивается к точке С или расширяется. Можно считать, например, что есть круг или сфера с центром С, радиус которой

стремится к нулю, и что есть часть (а), содержащаяся в круге с фиксированным центром, радиус которого беспредельно растет. Если же меняет знак, то мы должны предварительно убедиться в том, что несобственный интеграл сходится, и нельзя доказывать его сходимость при помощи специального выбора областей .

Пользуясь сказанным выше, нетрудно определить понятие равномерной сходимости несобственного кратного сходящегося интеграла, зависящего от параметра. Например, интеграл подынтегральная функция которого зависит от параметра а, назовем равномерно сходящимся относительно а, если при любом положительном существует такое положительное , не зависящее от а, что

если ( - любая часть (а), содержащаяся в круге Аналогично определяется равномерная сходимость и других несобственных интегралов. В частности, из опенки (62) вытекает, что интеграл будет равномерно сходящимся, если числа не зависят от а.

Для равномерно сходящихся интегралов имеют место свойства и признак равномерной сходимости, указанные в [87].

Болес сложными являются несобственные кратные интегралы, в которых подынтегральная функция становится неограниченной не в окрестности некоторой точки, а в окрестности некоторой линии При этом надо исключить эту линию некоторой областью и затем суживать к липни

Можно доказать, что если интеграл по сходится, то он выражается через повторные квадратуры (формула (7) из [59]). Если и повторные квадратуры от нес приводят к конечному числу , то интеграл от по сходится и равен . Если для знакопеременной повторные квадратуры для приводят к конечному числу, то интеграл от по сходится

1
Оглавление
email@scask.ru